吉林省部分名校2023-2024学年高二下学期联合考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-19 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一质点 $A$ 沿直线运动，位移 $s$ （单位：米）与时间 $t$ （单位：秒）之间的关系为 $s (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 2 l n t$ ，则质点 $A$ 在 $t = 2$ 秒时的瞬时速度为（）

A、1米/秒 B、2米/秒 C、3米/秒 D、4米/秒

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2. ${(x - \frac{2}{x^{3}})}^{4}$ 的展开式中的常数项为（）

A、12 B、8 C、-12 D、-8

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3. 某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额 $y$ （单位：万元）与莲藕种植量 $x$ （单位：万斤）满足 $y = - \frac{1}{6} x^{3} + 3 x^{2} + x$ ，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（）

A、12万斤 B、10万斤 C、8万斤 D、6万斤

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4. 某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（）

A、240 B、360 C、480 D、640

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5. 函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为 $X$ ，则随机变量 $X$ 的期望与方差分别为（）

A、 $2, \frac{1}{2}$ B、 $2, 1$ C、 $3, 1$ D、 $3, \frac{1}{2}$

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7. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（）

A、354 B、368 C、336 D、420

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8. 已知 $a = l o g_{3} 5, b = \frac{4}{3}, c = l n 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $X \sim N (μ, σ^{2}), P (X ⩾ 1) + P (X ⩾ 3) = 1$ ，且 $P (X ⩽ - 1) = 0.2$ ，则（）

A、 $μ = 1$ B、 $μ = 2$ C、 $P (- 1 ⩽ X ⩽ 2) = 0.3$ D、 $P (- 1 ⩽ X ⩽ 5) = 0.8$

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10. 不透明袋子中装有5个编号为 $1, 2, 3, 4, 5$ 的小球，这5个小球除编号外其余完全相同，从袋子中随机取出3个小球，记取出的3个小球的编号之和为 $S$ ，编号之积为 $T$ ，则（）

A、 $S$ 是3的倍数的概率为0.4 B、 $S$ 是3的倍数的概率为0.6 C、 $T$ 是3的倍数的概率为0.4 D、 $T$ 是3的倍数的概率为0.6

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11. 已知函数 $f (x) = a e^{a x + 1} - l n x + 1$ ，若对任意的 $x \in (e, + ∞), f (x) ⩾ 0$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{1}{e^{4}}$ B、 $\frac{1}{e^{3}}$ C、 $\frac{1}{e^{2}}$ D、 $\frac{1}{e}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12. 已知随机变量 $X \sim B (3, \frac{2}{3})$ ，则 $E (2 X - 1) =$ ， $D (3 X - 1) =$ .

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13. 在数轴上，一质点从原点0出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有种.

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, π)$ ，其导函数是 $f^{'} (x)$ .若 $f^{'} (x) s i n x - f (x) c o s x > 0$ 恒成立，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < \sqrt{2} f (\frac{π}{4}) s i n x$ 的解集为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者.

(1)、若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？

(2)、先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？

(3)、若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？

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16. 已知函数 $f (x) = 2 a l n x + x^{2} - (a + 4) x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + b$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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17. 在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答 $n$ 道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若 $n = 3$ ，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、若 $n = 10$ ，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.

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18. 甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ .由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立.

(1)、在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率.

(2)、已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件 $R =$ “改变比赛规则”，事件 $S =$ “乙获胜”，已知 $0 < P (S) < 1$ ，证明： $P (R ∣ S) > P (R ∣ \bar{S})$ .

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19. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a x^{2} - e$ .

(1)、当 $x ⩾ 1$ 时， $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} (e^{\frac{1}{i}} - \frac{1}{i}) > \frac{2}{3} - \frac{2}{4 n + 3} + n$ .

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