浙江省杭州市滨江区2024年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 如果小滨向东走 $3 m$ 记作 $+ 3 m$ ，那么他向西走 $6 m$ 可记作（）

A、 $- 6 m$ B、 $+ 6 m$ C、 $- 3 m$ D、 $+ 3 m$

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2. 2023年第十九届亚洲运动会在杭州举行，运动员们赛出了风格，赛出了水平，取得了优异成绩．运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 ${(- a b)}^{2} = - a b^{2}$ B、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ C、 $a^{5} \cdot a^{2} = a^{10}$ D、 $a^{5} \div a^{2} = a^{3}$

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4. 计算： $3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27} =$ （）

A、 $- 3 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 如图， $E$ 是 $▱ A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，满足 $E D = 3 B E$ ，连结 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A D : B F =$ （）

A、 $2 : 1$ B、 $3 : 1$ C、 $4 : 1$ D、 $6 : 1$

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6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示．
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
基于表中数据，对鞋店下次进货最具参考意义的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 如图，折扇的骨柄 $O A$ 长为7，折扇扇面宽度 $A B$ 是折扇骨柄长的 $\frac{4}{7}$ ，折扇张开的角度为 $12 0^{∘}$ ，则这把折扇扇面面积为（）

A、 $\frac{8}{3} π$ B、 $\frac{10}{3} π$ C、 $\frac{40}{3} π$ D、 $\frac{80}{3} π$

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8. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象的一支曲线经过 $▱ O A B C$ 对角线 $O B$ ， $A C$ 的交点 $D$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(- 4, 3)$ ，则 $k =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、6 D、 $- 6$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $B C = 12$ ， $B A < B C$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，线段 $B D$ 的垂直平分线 $l$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ．设 $B E = x$ ， $t a n C = y$ ，则（）

A、 $x - 3 y^{2} = 3$ B、 $2 x - 3 y^{2} = 7$ C、 $3 x - 3 y^{2} = 15$ D、 $4 x - 3 y^{2} = 15$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 4, k - 2)$ ， $B (- 2, k)$ ， $C (2, k)$ ．当 $0 \leq m \leq x \leq m + 1$ 时，该函数有最大值 $p$ 和最小值 $q$ ，则 $p - q$ （）

A、有最大值 $\frac{1}{24}$ B、无最大值 C、有最小值 $\frac{1}{24}$ D、无最小值

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	尺码/cm	22	22.5	23	23.5	24	24.5	25
销售量/双	1	2	5	11	7	3	1

二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 因式分解： $y^{2} - 4 x^{2} =$ ．

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12. 将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若 $∠ 1 = 13 0^{∘}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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13. 某校901班共有50名学生，平均身高为 $m$ 厘米，其中30名男生的平均身高为 $n$ 厘米，则20名女生的平均身高为厘米．

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14. 如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点 $O$ 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ ．若露在墙壁外面的钢管的长度 $O A = 0.2$ 米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度 $A B = 1$ 米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是米．

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15. 如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为 $A (1, 1)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (3, 1)$ ．则 $△ A B C$ 的内切圆半径长为．

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16. 勾股定理的证明方法多样．如图正方形 $A B C D$ 是由小正方形 $E F G H$ 和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长 $F G$ 交以 $A D$ 为直径的圆于点 $I$ （点 $I$ 在 $A D$ 的上侧），连结 $I A$ ， $I D$ ．分别以 $I A$ ， $I D$ 为边向外作正方形 $I A K J$ ， $I D L M$ ．已知 $△ I C D$ 的面积为2，正方形 $I A K J$ 的面积为1，则正方形 $E F G H$ 的面积为．

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

(1)、解方程： $x^{2} + 2 x = 1$

(2)、解不等式： $\frac{7 x}{3} < \frac{4 x - 1}{6} + 1$ ．

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18. 如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门 $O A$ 为1.2米，车门打开最大角度 $∠ A O B$ 为 $6 8^{∘}$ ．当两辆小汽车水平距离为0.8米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．
（结果精确到0.1米，参数考据： $s i n 6 8^{∘} \approx 0.93$ ， $c o s 6 8^{∘} \approx 0.37$ ， $t a n 6 8^{∘} \approx 2.48$ ）

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19. 化简 $(\frac{a}{a + 2} + \frac{a}{a - 2}) \cdot \frac{a^{2} - 4}{4 a}$ ．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式 $= (\frac{a (a - 2)}{(a + 2) (a - 2)} + \frac{a (a + 2)}{(a - 2) (a + 2)}) \cdot \frac{a^{2} - 4}{4 a} = ⋯ ⋯$
小江：原式 $= \frac{a}{a + 2} \cdot \frac{a^{2} - 4}{4 a} + \frac{a}{a - 2} \cdot \frac{a^{2} - 4}{4 a} = ⋯ ⋯$

(1)、小滨解法的依据是（填序号）；小江解法的依据是（填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律．

(2)、已知 $a = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ ，先化简题中代数式，再求代数式的值．

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20. 某学校给初一全体学生开设了 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)、求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小．

(2)、依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？

(3)、现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率．

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21. 设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ ，函数 $y_{2} = k_{2} x + b$ （ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， b是常数， $k_{1} \neq 0$ ， $k_{2} \neq 0$ ）．若函数 $y_{1}$ 和函数 $y_{2}$ 的图象交于点 $A (2, n + 1)$ ，点 $B (4, n - 2)$ ．

(1)、求点 $A$ ， $B$ 的坐标．

(2)、求函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的表达式．

(3)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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22. 如图1，矩形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 是矩形 $A B C D$ 以点 $B$ 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为 $x^{∘}$ 所得的图形，其中 $0 < x \leq 90$ ．连结 $B D$ ， $B D_{1}$ ， $C C_{1}$ ．已知 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求 $∠ B C C_{1}$ 的度数（用含 $x$ 的代数式表示）．

(2)、如图2，当 $B D_{1}$ 经过点 $C$ 时，求 $\frac{C D_{1}}{C D}$ 的值．

(3)、如图3，当 $B A_{1}$ 平分 $∠ D B D_{1}$ 时，求 $C C_{1}$ 的长．

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23. 如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板 $A B$ 直线运动，其中 $A B = 118 c m$ ．从黑球运动到 $A$ 点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间 $t$ （单位： $s$ ）、运动速度 $v$ （单位： $c m / s$ ）、滑行距离 $y$ （单位： $c m$ ）的数据．记录的数据如表：
运动时间 $t$ /s
0
2
4
6
8
10
…
运动速度 $v / (c m / s)$
12
10
8
6
4
2
…
运动距离 $y / c m$
0
22
40
54
64
70
…

(1)、根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出 $v$ 关于 $t$ ， $y$ 关于 $t$ 的函数图象，并分别求出 $v$ 关于 $t$ ， $y$ 关于 $t$ 的函数表达式．

(2)、①求黑球在水平木板 $A B$ 上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到 $A$ 点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点 $B$ 处，两球会在水平木板 $A B$ 的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点 $P$ 到 $A$ 点的距离；若不能相遇，请说明理由．

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24.

(1)、如图1， $P Q$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $l$ 是 $⊙ O$ 的切线， $Q$ 为切点． $A$ ， $B$ 是直线 $l$ 上两点（不与点 $Q$ 重合，且在直径 $P Q$ 的两侧），连结 $P A$ ， $P B$ 分别交于 $⊙ O$ 点 $C$ ，点 $D$ ．连结 $D Q$ ．求证： $△ P C D ∽ △ P B A$ ．

(2)、将图1中的直线 $l$ 沿着 $Q O$ 方向平移， $l$ 与 $O Q$ 交于点 $M$ ，如图2．结论 $△ P C D ∽ △ P B A$ 否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

(3)、在（1）的条件下，连结 $Q C$ ，得如图3，当 $t a n ∠ C P D = 2$ ， $\frac{P A}{P B} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ 时，求 $\frac{Q D}{Q C}$ 的值．

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	运动时间 $t$ /s	0	2	4	6	8	10	…
运动速度 $v / (c m / s)$	12	10	8	6	4	2	…
运动距离 $y / c m$	0	22	40	54	64	70	…