2024年广东省惠州市多校联考中考二模数学试题

试卷更新日期：2024-06-14 类型：中考模拟

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一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)

1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升 $3 ℃$ ，记作 $+ 3 ℃$ ，那么温度下降 $7 ℃$ 记作 ( )

A、 $- 3 ℃$ B、 $- 7 ℃$ C、 $+ 3 ℃$ D、 $+ 7 ℃$

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2. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长 $55000$ 米，其中海底隧道部分全长 $6700$ 米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，将数字 $6700$ 用科学记数法表示为( )

A、 $6.7 \times 10^{2}$ B、 $6.7 \times 10^{3}$ C、 $67 \times 10^{3}$ D、 $0.67 \times 10^{4}$

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4. 一个 $20 °$ 的角放在10倍的放大镜下看是（　　）

A、 $2 °$ B、 $20 °$ C、 $200 °$ D、无法判断

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5. 下列运算正确的是 ( )

A、 $3 m - m = 3$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 $b^{2} \cdot b^{3} = b^{5}$

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6. 如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC=30°，则∠ACB的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的 $∠ A = 120 °$ ，第二次拐的 $∠ B = 150 °$ ，第三次拐的 $∠ C$ ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 $∠ C$ 是（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（cm）对应关系如下表：
尺码/英寸
…
22
23
24
25
26
…
腰围/ $cm$
…
$60 \pm 1$
$62.5 \pm 1$
$65 \pm 1$
$67.5 \pm 1$
$70 \pm 1$
…
小华的腰围是79 $cm$ ，那么他所穿裤子的尺码是（）

A、28英寸 B、29英寸 C、30英寸 D、31英寸

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，按如下步骤作图：①分别以点 $C$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ $C D$ 长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ， $N$ ； ②作直线 $M N$ ，与 $C D$ 交于点 $E$ ，连接 $B E$ ，若 $A D = 2$ ，直线 $M N$ 恰好经过点 $A$ ，则 $B E$ 的长为 ( )

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ O A B = 90 °, O A = A B$ ，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，点 $A$ 的坐标 $(m, 2)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5} - 2$ D、2.5

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二、填空题 (共5个小题，每小题3分，满分15分)

11. 已知单词 $C a l c u l u s$ (微积分)，从中任取一个字母，则抽到“ $u$ ”的概率为．

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12. 分解因式：a²+ 5a=.

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13. 在社会实践活动中，小明同学用一个半径为 $12 c m$ 的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点 $A$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $120 °$ ，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 $c m$ ．

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14. “做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片 $A B C$ ，第 $1$ 次折叠使点 $B$ 落在 $B C$ 边上的点 $B^{'}$ 处，折痕 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ；第 $2$ 次折叠使点 $A$ 落在点 $D$ 处，折痕 $M N$ 交 $A B^{'}$ 于点 $P$ ．若 $B C = 24$ ，则 $M P + M N =$ ．

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15. 如图，在正八边形 $A B C D E F G H$ 中，将 $E F$ 绕点 $E$ 点逆时针旋转 $60 °$ 到 $E P$ ，连接 $A E$ ， $A P$ ，若 $A B = 2$ ，则 $△ A P E$ 的面积为．

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三、解答题 (一) (共3个小题，第16题10分，第17、18题7分，满分24分)

16. （1）计算： $2 \sin 60 ° - {(π - 2024)}^{0} + |\sqrt{3} - 2|$
（2）先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 1} ，$ 其中 $x = 13$ ．

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17. 设中学生体质健康综合评定成绩为 $x$ 分，满分为 $100$ 分，规定： $85 \leq x \leq 100$ 为 $A$ 级， $75 \leq x < 85$ 为 $B$ 级， $65 \leq x < 75$ 为 $C$ 级， $x < 65$ 为 $D$ 级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)、在这次调查中，一共抽取了名学生，A级对应的圆心角为度；

(2)、补全条形统计图；

(3)、这组数据的中位数所在的等级是级；

(4)、若该校共有 $2300$ 名学生，请你估计该校综合评定成绩不小于 $75$ 分的学生有多少名?

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18. 某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．

(1)、消毒液和洗手液的单价各是多少元?

(2)、学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液?

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四、解答题 (二) (共3个小题，每小题9分，满分27分)

19. 【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 $A P$ 始终平分同一平面内两条固定轴所成的 $∠ B A C$ ，其中 $∠ B A C = 120 °$ ， $A E = A F = 10 cm$ ，发射中心 $D$ 能沿着发射杆滑动， $D E$ ， $D F$ 为橡皮筋．

(1)、证明： $D E = D F$ ；

(2)、当 $△ A E D$ 由图2中的等边 $△ A E D_{1}$ 变成直角 $△ A E D_{2}$ 的过程中，求发射中心 $D$ 向下滑动的距离 $D_{1} D_{2}$ 的长度．

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20. 新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．

(1)、验证：矩形 $E F G H$ 是矩形 $A B C D$ 的“减半”矩形，其中矩形 $A B C D$ 的长为12、宽为2，矩形 $E F G H$ 长为4、宽为3．

(2)、探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中 $B$ 的坐标为 $(1, - 1)$ ， $D$ 是以点 $C (3,$ $4)$ 为圆心，半径长为 $1$ 的圆上一动点，连接 $B D$ ， $E$ 为 $B D$ 的中点．

(1)、求直线和双曲线的解析式；

(2)、求线段 $O E$ 的最小值．

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五、解答题 (三) (共2个小题，每小题12分，满分24分)

22. 如图1， $⊙ O$ 经过平行四边形 $A B C D$ 的 $A$ ， $C$ 两点，且分别交 $A B$ ， $B C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，其中 $E F = 5$ ， $A C = 12$ ．

(1)、求 $\frac{S_{四边形 A E F C}}{S_{四边形 A B C D}}$ 的值；

(2)、如图2，若 $t a n ∠ B A C$ ． $t a n ∠ A C B = 1$ ．
①求证：平行四边形 $A B C D$ 为矩形；
②求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 【综合运用】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \sqrt{3} x^{2} + 2 \sqrt{3} x$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $O$ ， $A$ ，顶点为 $B$ ．其对称轴与 $x$ 轴交于点 $F$ ，连接 $O B$ ， $A B$ ．点 $D$ 是线段 $A B$ 上一动点，点 $E$ 在 $△ O A B$ 外角 $∠ O A C$ 的平分线上，连接 $O D$ ， $D E$ ， $O E$ ， $E F$ ，其中 $∠ O D E = 60 °$ ．

(1)、求点 $A$ ， $B$ 的坐标；

(2)、求 $∠ D O E$ 的大小；

(3)、当线段 $E F$ 的长度最小时，求此时 $△ O D E$ 的面积．

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尺码/英寸	…	22	23	24	25	26	…
腰围/ $cm$	…	$60 \pm 1$	$62.5 \pm 1$	$65 \pm 1$	$67.5 \pm 1$	$70 \pm 1$	…

2024年广东省惠州市多校联考中考二模数学试题

一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)

二、填空题 (共5个小题，每小题3分，满分15分)

三、解答题 (一) (共3个小题， 第16题10分， 第17、18题7分， 满分24分)

四、解答题 (二) (共3个小题，每小题9分，满分27分)

五、解答题 (三) (共2个小题，每小题12分，满分24分)

三、解答题 (一) (共3个小题，第16题10分，第17、18题7分，满分24分)