广东省佛山市南海区狮山镇2024年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在实数 $- 2, 0, 1, \sqrt{5}$ 中，最小的数是（）．

A、-2 B、0 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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2. 下列图形中，为轴对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \neq 2$

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4. 先后两次拋掷同一枚质地均匀的硬币；则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 一定质量的氧气，它的密度 $ρ (k g / m^{3})$ 是它的体积 $V (m^{3})$ 的反比例函数，当 $V = 10 m^{3}$ 时， $ρ = 1.43 k g / m^{3}$ ，当 $V = 2 m^{3}$ 时，氧气的密度 $ρ$ 是（）．

A、 $1.43 k g / m^{3}$ B、 $2.86 k g / m^{3}$ C、 $7.15 k g / m^{3}$ D、 $14.3 k g / m^{3}$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x < 2, \\ x + 1 \geq 0 . \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）．

A、 B、 C、 D、

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7. 正十二边形的外角和为（）

A、30° B、150° C、360° D、1800°

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8. 将抛物线 $y = x^{2}$ 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的拋物线是（）

A、 $y = (x - 3)^{2} + 4$ B、 $y = (x + 3)^{2} + 4$ C、 $y = (x - 3)^{2} - 4$ D、 $y = (x + 3)^{2} - 4$

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9. 据科学计算，运载“神十八”的“长征二号” $F$ 火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 $2 k m$ ，第二秒时共通过了 $6 k m$ 的路程，第三秒时共通过了 $12 k m$ 的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面 $240 k m$ 的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（）．

A、10秒钟 B、13秒钟 C、15秒钟 D、20秒钟

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

10. 如果零上 $3^{°} C$ 记作 $+ 3^{°} C$ ，那么零下 $4^{°} C$ 记作 $^{°} C$ ．

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11. 已知实数a，b，满足 $a + b = 6$ ， $a b = 7$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为．

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12. 如图，在平行四边形ABCD中， $O$ 为BD的中点，EF过点 $O$ 且分别交AB，CD于点 $E$ ， $F$ ．若 $A E = 10$ ，则CF的长为.

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13. 七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积 $S_{3} = 2$ ，则图中标有5的正方形的面积 $S_{5}$ 的值为．

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14. 如图，在四边形ABCD中， $A B / / C D, A D / / B C$ ，对角线 $A C ⊥ B D$ 于点 $O$ ，若添加一个条件后，可使得四边形ABCD是正方形，则添加的条件可以是．（不再增加其他线条和字母）

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三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分；第17，18题每小题7分，共24分．

15.

(1)、计算： $4 s i n 6 0^{°} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} + | - 2 | - \sqrt{12}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(1 - \frac{x - 1}{x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是AB边上的一点.

(1)、请用尺规作图，在 $△ A B C$ 内部求作 $∠ A D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ B, D E$ 交AC于点 $E$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $\frac{A D}{D B} = \frac{1}{2}, D E = 3$ ，求BC的长．

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17. 某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 $x$ 表示，分为四个等级：不满意 $x < 70$ ，比较满意 $70 \leq x < 80$ ，满意 $80 \leq x < 90$ ，非常满意 $x \geq 90$ ），下面给出了部分信息：
抽取的对 $A$ 款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对 $B$ 款设备的评分数据：
$68, 69, 76, 78, 81, 84, 85, 86, 87, 87, 87, 89, 95, 97, 98, 98, 98, 98, 99, 100 .$
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
m
96
45%
B
88
87
n
40%
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $m =$ ， $n =$ ；

(2)、5月份，有600名消费者对 $A$ 款自动洗车设备进行评分，估计其中对 $A$ 款自动洗车设备“比较满意”的人数；

(3)、根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

18. 为了迎接2024年3月23日的佛山50公里徒步活动，“不负春光，逐梦前行”，佛山某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克 $A$ 种食材和1千克 $B$ 种食材共需68元，购买5千克 $A$ 种食材和3千克 $B$ 种食材共需280元．

(1)、求A，B两种食材的单价；

(2)、该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买 $A$ 种食材千克数不少于 $B$ 种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少?并求出最少总费用．

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19. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径， $E$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{E B}$ 的中点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A E$ ，交AE的延长线于点 $D$ ，延长DC交AB的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证：CD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A F = 10, D F = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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20. 综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。小明同学发现沙滩上有很多遮阳伞，为游客带来一丝清凉。如图1是沙滩上的某型号圆形遮阳伞支架完全张开的状态，其伞柄和主骨架如图4所示（A、B、C、D在同一平面内)。为了了解遮阳伞下方的阴影大小，小明进行了如下探究.
【测量与整理】通过操作，小明发现：如题图2，当伞完全折叠时，伞顶A与伞柄顶端点 $B$ 重合，两边主骨架的端点 $D$ 与 $C$ 重合，此时 $O D = 1.1 m$ ；如图3，在撑开过程中；骨架 $A C^{^{'}}$ 的中点 $E$ 到点 $B$ 的距离始终等于AC的一半， $A C = A D = 1.5 m$ ：如图4，当伞完全张开时， $B C = \frac{9}{15} A C$ ．
【计算与分析】

(1)、伞从折叠到完全张开时，求骨架AC的端点 $C$ 到支点 $O$ 的距离；

(2)、当太阳光垂直照到地面上，求圆伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

21. 如图，矩形ABCD中， $A D = a, A B = \sqrt{3} a, E$ 是CD边上一动点，连接AE，把线段AE绕点 $A$ 顺时针旋转 $6 0^{°}$ 得到线段AF

(1)、当点E与点 $D$ 重合时， $∠ F A B =$ 度．

(2)、在点 $E$ 从点 $D$ 向点 $C$ 运动的过程中，猜想点 $F$ 所走过的路程与DE的长有什么关系？请说明理由.

(3)、在点E从点 $D$ 向点 $C$ 运动的过程中，当BF取得最小值时停止，求点 $F$ 所走过的路程长．

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22.
【定义】设抛物线与水平直线 $l$ 交于不重合的两点A、B，过抛物线上点 $P$ （不同于A、B）作该水平线的垂线，垂足为C．我们把点 $P$ 与点 $C$ 间的距离称为点 $P$ 关于直线 $l$ 的铅垂高，垂足到点 $A$ 和点 $B$ 间的距离分别称为点 $P$ 关于直线 $l$ 的左水平宽和右水平宽，铅垂高与左、右水平宽的乘积的比称为点 $P$ 关于抛物线的“ $T$ ”系数．例如，如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点A、B，P是抛物线上一点， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，则PC的长为点 $P$ 关于 $x$ 轴的铅垂高，AC，BC的长为点 $P$ 关于 $x$ 轴的左水平宽与右水平宽， $\frac{P C}{A C \times B C}$ 的值称为点 $P$ 关于 $y = a x^{2} + b x + c$ 的“ $T$ "系数．

(1)、【理解】如图2，已知扰物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$ 与 $x$ 轴交于点A、B（点A在点 $B$ 左侧），点 $P$ 是挞物线上一点， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ；

①当点 $P$ 的坐标是 $(0, 4)$ 时，点 $P$ 关于 $x$ 轴的铅垂高是，点 $P$ 关于 $x$ 轴的左水平宽是，点 $P$ 关于 $x$ 轴的右水平宽是；
②当点 $P$ 的横坐标是 $m$ 时，则点 $P$ 关于 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$ 的“ $T$ "系数是；

(2)、【探究】经过探究可以发现，若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与水平直线 $l$ 交于点A、B，点 $P$ 是拋物线上一点， $P C ⊥ l$ 于点 $C$ ，请求出点 $P$ 关于拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的“ $T$ ”系数（用含 $a$ 的代数式表示）；

(3)、
【应用】校门口的隔离栏通常会涂上呈拋物线形状的醒目颜色，如图3，是一个被12根栏杆等分成13等分的矩形隔离栏示意图，其中颜色的分界处（点C，D）以及点A，点 $B$ 落在同一抛物线上，若第4根栏杆涂色部分（CE）的长为 $36 c m$ ，则第6根栏杆涂色部分 $(D F)$ 的长为 $c m$ ．

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设备	平均数	中位数	众数	“非常满意”所占百分比
A	88	m	96	45%
B	88	87	n	40%