【高考真题】2024年上海市高考数学卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：高考真卷

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一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {2, 4}$ ，则 $\bar{A} =$ .

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2. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x}, x > 0 \\ 1, x \leq 0 \end{array}$ ， $f (3) =$ .

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3. 已知 $x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 的解集为.

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4. 已知 $f (x) = x^{3} + a$ ，若 $f (x)$ 是奇函数， $x \in R$ ， $a =$ .

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5. 已知 $k \in R$ ， $\vec{a} = (2, 5)$ ， $\vec{b} = (6, k)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则k的值为.

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6. 在 $(x + 1)^{n}$ 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 $x^{2}$ 项的系数为.

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为.

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8. 某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

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9. 已知虚数z ，其实部为1，且 $z + \frac{2}{z} = m (m \in R)$ ，则实数m为.

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10. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值.

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11. 已知A在O正东方向，B在O的正北方向，O到A、B距离相等， $∠ B T O = 16.5 °$ ， $∠ A T O = 37 °$ ，则 $∠ B O T =$ .（精确到0.1度）

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12. 等比数列 ${a_{n}}$ 首项 $a_{1} > 0$ ， $q > 1$ ，记 $l n = {x - y ∣ x, y \in [a_{1}, a_{2}] ∪ [a_{n}, a_{n + 1}]}$ ，若对任意正整数n ， $l n$ 是闭区间，则q的范围是.

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二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．

13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是( )

A、气候温度高，海水表层温度就高 B、气候温度高，海水表层温度就低 C、随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D、随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

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14. 下列函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ 的是( )

A、 $s i n x + c o s x$ B、 $s i n x c o s x$ C、 $s i n^{2} x + c o s^{2} x$ D、 $s i n^{2} x - c o s^{2} x$

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15. 定义一个集合 $Ω$ ，集合中的元素是空间内的点集，任取 $P_{1}, P_{2}, P_{3} \in Ω$ ，存在不全为0的实数 $λ_{1}$ ， $λ_{2}$ ， $λ_{3}$ ，使得 $λ_{1} \vec{O P_{1}} + λ_{2} \vec{O P_{2}} + λ_{3} \vec{O P_{3}} = \vec{0}$ .已知 $(1, 0, 0) \in Ω$ ，则 $(0, 0, 1) \notin Ω$ 的充分条件是( )

A、 $(0, 0, 0)$ B、 $(- 1, 0, 0)$ C、 $(0, 1, 0)$ D、 $(0, 0, - 1)$

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16. 定义集合 $M = {x_{0} ∣ x_{0} \in R, x \in (- \infty, x_{0}), f (x) < f (x_{0})}$ ，在使得 $M = [- 1, 1]$ 的所有 $f (x)$ 中，下列成立的是( )

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取最大值 C、 $f (x)$ 严格增 D、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取到极小值

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三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. 如图为正四棱锥 $P - A B C D$ ， O为底面ABCD的中心.

(1)、若 $A P = 5$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ P O A$ 绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)、若 $A P = A D$ ， E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.

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18. 若 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）.

(1)、 $y = f (x)$ 过 $(4, 2)$ ，求 $f (2 x - 2) < f (x)$ 的解集；

(2)、存在x使得 $f (x + 1)$ 、 $f (a x)$ 、 $f (x + 2)$ 成等差数列，求a的取值范围.

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19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
学业成绩
$[0, 0.5)$
$[0.5, 1)$
$[1, 1.5)$
$[1.5, 2)$
$[2, 2.5)$
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27

(1)、该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？

(2)、估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

(3)、是否有 $95 %$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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20. 双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为左右顶点，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线l交双曲线 $Γ$ 于两点P、Q ，且点P在第一象限.

(1)、若 $e = 2$ 时，求b.

(2)、若 $b = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $△ M A_{2} P$ 为等腰三角形时，求点 $P$ 的坐标.

(3)、过点Q作OQ延长线交 $Γ$ 于点R ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求b取值范围.

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21. 对于一个函数 $f (x)$ 和一个点 $M (a, b)$ ，定义 $s (x) = (x - a)^{2} + (f (x) - b)^{2}$ ，若存在 $P (x_{0}, f (x_{0}))$ ，使 $s (x_{0})$ 是 $s (x)$ 的最小值，则称点P是函数 $f (x)$ 到点M的“最近点”.

(1)、对于 $f (x) = \frac{1}{x}$ （x＞0），求证，对于点 $M (0, 0)$ ，存在点P ，使得P是 $f (x)$ 到点M的“最近点”；

(2)、对于 $f (x) = e^{x}$ ， $M (1, 0)$ ，请判断是否存在一个点P ，它是 $f (x)$ 到点M的“最近点”，且直线MP与 $f (x)$ 在点P处的切线垂直；

(3)、已知f（x）存在导函数f^'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M₁（t-1，f（t）-g（t）），点M₂（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M₁与点M₂的“最近点”，试判断f（x）的单调性．

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