浙江省杭州市滨江区杭州2023-2024学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：期中考试

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一、仔细选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分)下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.

1. 大国工匠年度人物胡胜实现了0.000004米精度的数控雕刻，完美诠释了新时代工匠精神．将数0.000004用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 1 0^{- 5}$ B、 $- 4 \times 1 0^{6}$ C、 $4 \times 1 0^{- 6}$ D、 $0.4 \times 1 0^{- 5}$

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2. 若分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≠5 B、x＝5 C、x<5 D、x>5

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{5} \div a^{3} = a^{2}$

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4. 如图，下列各角与∠1是内错角的是（）

A、∠2 B、∠3 C、∠4 D、∠5

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5. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）

A、 $m^{2} - 4$ B、 $- m^{2} - 4$ C、 $m^{2} + 4$ D、 $m^{2} + m$

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6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何?”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少?设兽有x只，鸟有y只，根据题意列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 6 x + 4 y = 76 \\ 4 x + 2 y = 46 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 76 \\ 2 x + 4 y = 46 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 6 x + 4 y = 46 \\ 4 x + 2 y = 76 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 46 \\ 2 x + 4 y = 76 \end{array}$

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7. 将分式 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$ 中的x ，参都扩大2倍则分式的值（）

A、不变 B、扩大2倍 C、扩大4倍 D、扩大6倍

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8. 如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果 $∠ 1 = 23 °$ ，那么 $∠ 2$ 的大小为（）

A、 $23 °$ B、 $46 °$ C、 $57 °$ D、 $67 °$

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9. 方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 y = 2 a \\ 2 x + 7 y = a - 18 \end{array}$ 的解x ， y的值互为相反数，则a的值是（）

A、12 B、﹣3.6 C、8 D、2.5

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10. 定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如： $2^{2} + 3^{2} + 2 \times 2 \times 3 = 25$ ，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（）

A、12个 B、13个 C、14个 D、15个

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二、认真填一填(本题有6个小题，每小题3分，共18分)要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案

11. 如图，已知 $a / / b$ ， ∠1＝100°，则∠2＝度．

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12. 因式分解： $m^{3} - m =$ ．

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13. 已知方程2x+y＝7，用关于x的代数式表示y得：y＝.

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14. 如图，点A ， B在数轴上所对应的数分别为﹣3和 $\frac{a}{a - 2}$ ，且点A ， B到原点的距离相等，则a的值为．

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15. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝35°，D是线段AB上的一个动点，连结CD ，将△CDB沿着CD翻折，得到△CDE ，当△CDE的三边与△ABC的三边至少有一组边平行时，∠CDB的度数是．

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16. 甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置AB＝a ， CD＝b ，记图①中的阴影部分面积为 $S_{1}$ ．图②中的阴影部分面积为 $S_{2}$ ，甲正方形的面积为 $S_{甲}$ ．

(1)、若 $S_{1} + S_{2} = \frac{3}{2} S_{甲}$ ，则 $\frac{a}{b} - \frac{2 b}{a}$ 的值是；

(2)、若 $S_{1} = S_{2}$ ，则 $\frac{2 a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值是．

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三、全面答一答(本题有8个小题，共72分)解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。

17. 计算：

(1)、 $(- 1)^{2} + (\sqrt{3})^{0}$ ；

(2)、 $x^{2} \cdot x^{3} - x^{5}$ ；

(3)、 $(x - 1)^{2} - x^{2}$ ．

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18. 因式分解：

(1)、 $3 x^{2} - x$ ；

(2)、 $(m - n)^{2} - 6 (n - m) + 9$ ．

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19. 解方程(组)

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 m - n = 3 \\ m + 2 n = - 1 \end{array}$

(2)、 $\frac{3 x - 1}{2} - 1 = \frac{0.4 x - 1}{0.3}$ ．

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20. 先化简，再求值：

(1)、 $\frac{x^{2}}{x + 3} - \frac{9}{x + 3}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

(2)、 ${(1 + 2 a)}^{2} - (3 a + 1) (1 - 2 a)$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．

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21. 如图，在△ABD中，点C是边BD上一点，点E是△ABD外一点，连结AC、AE、CE ，使得CE∥AB ，且∠EAC＝∠BAD ．

(1)、∠ACE与∠EAD相等吗?请说明理由；

(2)、若 $A E / / B D$ ， ∠BAC＝2∠CAD ， ∠B＝65°，求∠D的度数．

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22. 某学校准备用1350元购买若干个球类产品．若购买篮球10个，足球10个，则钱刚好用完；若购买篮球5个，足球16个，则钱还剩下70元．

(1)、求篮球和足球的单价；

(2)、由于实际需要，须增加购买单价为45元的排球若干个，若购买篮球，足球，排球共27个，钱恰好全部用完，则排球买了多少个?

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23. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“ $m^{2} - m n + 2 m - 2 n$ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为 $m^{2} - m n + 2 m - 2 n = (m^{2} - m n) + (2 m - 2 n)$ $= m (m - n) + 2 (m - n) = (m - n) (m + 2)$ ． “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：

(1)、分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} + 6 a - 12$ ；

(2)、已知m﹣n＝5，mn＝1，求 $m^{2} n - m n^{2} - 2 m + 2 n$ 的值；

(3)、△ABC的三边a ， b ， c满足 $a^{2} + c^{2} = 2 a c - a b + b c$ ，判断△ABC的形状并说明理由．

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24. 完全平方公式： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ， $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 2^{2} - 2 \times 1 = 2$ ．
根据以上信息回答下列问题：

(1)、若m＋n＝4， $m^{2} + n^{2} = 5^{2}$ ，求mn的值；

(2)、若 $a^{2} + 4 b^{2} = 11$ ， ab＝﹣5，求a﹣2b的值；

(3)、如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC ， AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM ，在长方形ABCD内以AB ， CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH ．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．

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