四川省自贡市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：中考真卷

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一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在0， $- 2$ ， $- \sqrt{3}$ ， $π$ 四个数中，最大的数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、 $π$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为（）

A、 $0.7 \times 1 0^{5}$ B、 $7 \times 1 0^{4}$ C、 $7 \times 1 0^{5}$ D、 $0.7 \times 1 0^{4}$

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3. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交 $∠ A$ 两边于点M ， N ，再分别以M、N为圆心， $A M$ 的长为半径画弧，两弧交于点B ，连接 $M B ， N B$ ．若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ M B N =$ （）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $140 °$

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4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（）

A、3，4 B、4，4 C、4，5 D、5，5

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $D (4, - 2)$ ，将 $R t △ O C D$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 到 $△ O A B$ 位置，则点B坐标为（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(4, 2)$ C、 $(- 4, - 2)$ D、 $(- 2, 4)$

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7. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（）

A、是轴对称图形 B、是中心对称图形 C、既是轴对称图形又是中心对称图形 D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形

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8. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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9. 一次函数 $y = x - 2 n + 4$ ，二次函数 $y = x^{2} + (n - 1) x - 3$ ，反比例函数 $y = \frac{n + 1}{x}$ 在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（）

A、 $n > - 1$ B、 $n > 2$ C、 $- 1 < n < 1$ D、 $1 < n < 2$

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 12 c m$ ． A点P从点A出发、以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A \to D$ 运动，同时点Q从点C出发，以 $3 c m / s$ 的速度沿 $C \to B \to C \to \cdot \cdot \cdot$ 往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段 $P Q = C D$ 出现的次数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 如图，等边 $△ A B C$ 钢架的立柱 $C D ⊥ A B$ 于点D ， $A B$ 长 $12 m$ ．现将钢架立柱缩短成 $D E$ ， $∠ B E D = 60 °$ ．则新钢架减少用钢（）

A、 $(24 - 12 \sqrt{3}) m$ B、 $(24 - 8 \sqrt{3}) m$ C、 $(24 - 6 \sqrt{3}) m$ D、 $(24 - 4 \sqrt{3}) m$

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，将矩形沿直线 $E F$ 折叠，使点A ， B分别落在边 $A D 、 B C$ 上的点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 处， $E F$ ， $A^{'} F$ 分别交 $A C$ 于点G ， H ．若 $G H = 2$ ， $H C = 8$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、 $\frac{20 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{20 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ D、5

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二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13. 分解因式： $x^{2} - 3 x =$ .

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14. 计算： $\frac{3 a + 1}{a + 1} - \frac{2 a}{a + 1} =$ ．

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15. 凸七边形的内角和是度．

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16. 一次函数 $y = (3 m + 1) x - 2$ 的值随 $x$ 的增大而增大，请写出一个满足条件的 $m$ 的值．

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17. 龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条 $A B ， A C$ 夹角为 $120 °$ ． $A B$ 长 $30 c m$ ，扇面的 $B D$ 边长为 $18 c m$ ，则扇面面积为 $c m^{2}$ （结果保留 $π$ ）．

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18. 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙 $A B ⊥ C D$ 于点O（如图），其中 $A B$ 上的 $E O$ 段围墙空缺．同学们测得 $A E = 6.6$ m， $O E = 1.4$ m， $O B = 6$ m， $O C = 5$ m， $O D = 3$ m．班长买来可切断的围栏 $16$ m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 $c m^{2}$ ．

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三、解答题（共8个题，共78分）

19. 计算： ${(t a n 45 ° - 2)}^{0} + | 2 - 3 | - \sqrt{9}$

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $∠ E D F = ∠ C$ ．

(1)、求证： $∠ B D F = ∠ A$ ；

(2)、若 $∠ A = 45 °$ ， $D F$ 平分 $∠ B D E$ ，请直接写出 $△ A B C$ 的形状．

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21. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．

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22. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，切点分别为D ， E ， F ．

(1)、图1中三组相等的线段分别是 $C E = C F$ ， $A F =$ ， $B D =$ ；若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $⊙ O$ 半径长为；

(2)、如图2，延长 $A C$ 到点M ，使 $A M = A B$ ，过点M作 $M N ⊥ A B$ 于点N ．
求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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23. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
$20 %$
良好
45
c
优秀
32
$32 %$
图1学生体质健康统计表
图2学生体质健康条形图

(1)、图1中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；

(3)、为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (- 6, 1)$ ， $B (1, n)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、P是直线 $x = - 2$ 上的一个动点， $△ P A B$ 的面积为21，求点P坐标；

(3)、点Q在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 位于第四象限的图象上， $△ Q A B$ 的面积为21，请直接写出Q点坐标．

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25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)、如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 $E F$ 恰好等于自己的身高 $D E$ ．此时，小组同学测得旗杆 $A B$ 的影长 $B C$ 为 $11.3 m$ ，据此可得旗杆高度为m；

(2)、如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C ，并通过镜面观测到旗杆顶部A ．小组同学测得小李的眼睛距地面高度 $D E = 1.5 m$ ，小李到镜面距离 $E C = 2 m$ ，镜面到旗杆的距离 $C B = 16 m$ ．求旗杆高度；

(3)、小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M ， N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q ，标高线 $P Q$ 始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D ， G两点，并标记观测视线 $D A$ 与标高线交点C ，测得标高 $C G = 1.8 m$ ， $D G = 1.5 m$ ．将观测点D后移 $24 m$ 到 $D^{'}$ 处，采用同样方法，测得 $C^{'} G^{'} = 1.2 m$ ， $D^{'} G^{'} = 2 m$ ．求雕塑高度（结果精确到 $1 m$ ）．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{3}{2} x + c$ 与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，顶点为P ．

(1)、求抛物线的解析式及P点坐标；

(2)、抛物线交y轴于点C ，经过点A ， B ， C的圆与y轴的另一个交点为D ，求线段 $C D$ 的长；

(3)、过点P的直线 $y = k x + n$ 分别与抛物线、直线 $x = - 1$ 交于x轴下方的点M ， N ，直线 $N B$ 交抛物线对称轴于点E ，点P关于E的对称点为Q ， $M H ⊥ x$ 轴于点H ．请判断点H与直线 $N Q$ 的位置关系，并证明你的结论．

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成绩	频数	百分比
不及格	3	a
及格	b	$20 %$
良好	45	c
优秀	32	$32 %$