湖南省长沙市雅礼教育集团2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各数中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(2 a^{3})}^{2} = 2 a^{6}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主枧图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. “五一”假期，星城长沙共接待游客6170000万人次．其中数据6170000用科学记数法表示为（）

A、 $61.7 \times 1 0^{5}$ B、 $0.617 \times 1 0^{7}$ C、 $6.17 \times 1 0^{7}$ D、 $6.17 \times 1 0^{6}$

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5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， $∠ 1 = 122 ° ， ∠ 2$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $58 °$ C、 $68 °$ D、 $78 °$

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6. 在校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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7. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 3)$ 关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度 $h$ 随时间 $t$ 的变化规律如图所示（图中 $O A B C$ 为一折线）.这个容器的形状可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 40 °$ ，分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $M N$ ，交边 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $100 °$ D、 $80 °$

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10. 如图，三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ．沿过点 $A$ 的直线将纸片折叠，使点 $B$ 落在边 $B C$ 上的点 $D$ 处：再折叠纸片，使点 $C$ 与点 $D$ 重合，若折痕与 $A C$ 的交点为 $E$ ，则 $s i n ∠ D E A =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解： $x^{2} - 3 x$ =；

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12. 质检部门从 $1000$ 件电子元件中随机抽取 $100$ 件进行检测，其中有 $2$ 件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有件次品．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ．若以 $A C$ 所在直线为轴，把 $△ A B C$ 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 $c m^{2}$ ．（结果保留 $π$ ）

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15. 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．

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16. 在密码学中，把直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母 $a, b, c, ⋯ z$ 依次对应1、2、3，…，26这26个自然数，如下表，当明码对应的序号 $x$ 为奇数时，密码对应的序号 $y = \frac{x + 1}{2}$ ；当明码对应的序号 $x$ 为偶数时，密码对应的序号 $y = \frac{x}{2} + 13$ ．按该规定，将明码“yano”译成密码（密码是字母）是．
字母
$a$
$b$
$c$
$d$
$e$
$f$
$g$
$h$
$i$
$j$
$k$
$l$
$m$
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
$n$
$o$
$p$
$q$
$r$
$s$
$t$
$u$
$v$
$w$
$x$
$y$
$z$
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分；第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）

17. 计算： $| - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π + 1)}^{0} - t a n 60 °$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a - 2} \cdot \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{2}{a - 1}$ ，其中 $a = 3$ ．

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19. 机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图，是某种型号飞机的机翼形状，图中， $M C ∥ N D ∥ B E$ ， $A B ∥ C E$ ， $∠ B E C = 90 °$ ，请你根据图中的数据计算 $A C$ ， $A B$ 的长度．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果保留小数点后一位）

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20. 劳动是一切幸福的源泉。为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间 $x$ 分为如下四组（ $A : x < 70$ ， $B : 70 \leq x < 80$ ， $C : 80 \leq x < 90$ ， $D : x \geq 90$ ，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中 $m$ 的值为；

(2)、补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）

(3)、已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含
80分钟）以上的学生有多少人？

(4)、若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 的中点，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ E C D$ ；

(2)、若 $A C = 3$ ， $C E = 5$ ， $B D$ 的长是偶数，求 $B D$ 的长．

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22. 橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲。该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆。该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．

(1)、求该商店两次购进这款书签各多少个？

(2)、第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的 $\frac{4}{5}$ 后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？

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23. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $D$ 是斜边 $A C$ 上一个动点，过点作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于 $F$ ，连接 $E F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是矩形；

(2)、在 $D$ 点的运动过程中，求 $E F$ 的最小值；

(3)、若四边形 $B E D F$ 为正方形，求 $\frac{A D}{D C}$ ．

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24. 我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线 $y = 2 x$ 上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题：

(1)、【概念理解】下列抛物线是“完美抛物线”的是；
① $y = x^{2}$ ② $y = x^{2} - 4 x + 6$ ③ $y = - {(x + h)}^{2} - 2 h$

(2)、【拓展应用】如图，已知“完美抛物线” $y = - {(x - 1)}^{2} + k$ 的顶点为 $A$ ，将该抛物线沿直线 $y = 2 x$ 向上平移，点 $A$ 平移到点 $B$ ，两条“完美抛物线”相交于点 $C$ ，设点 $B$ 、点 $C$ 的横坐标分别为 $m, n (m > 1)$
若 $A B = 2 \sqrt{5}$ ，求平移后的抛物线的解析式；

(3)、在平移的过程中，若 $t a n ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ，求 $m + n$ 的值．

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25. 如图，半径为2的 $⊙ O$ 中，弦 $B C$ 的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 是优弧 $B C$ 上的一个动点，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交圆 $O$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、当点 $A$ 沿着优弧 $B C$ 从点 $B$ 开始，顺时针运动到点 $C$ 时，求 $△ A B C$ 的内心点 $E$ 所经过的路径的长度；

(3)、连接 $O E$ ，设 $O E = x$ ， $A E = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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字母	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$	$h$	$i$	$j$	$k$	$l$	$m$
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
字母	$n$	$o$	$p$	$q$	$r$	$s$	$t$	$u$	$v$	$w$	$x$	$y$	$z$
序号	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26