湖南省长沙市2024年中考数学模拟考试试卷

试卷更新日期：2024-06-17 类型：中考模拟

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一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

1. 在 $- 3$ ， $- 1$ ， 0，1中，最小的数是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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2. “五一”小长假出行数据显示，4月30日至5月5日，全国铁路、民航以及道路客流量合计将达到250000000人次左右，则250000000用科学记数法可表示为（）

A、 $2.5 \times 1 0^{- 8}$ B、 $2.5 \times 1 0^{8}$ C、 $2.5 \times 1 0^{7}$ D、 $2.5 \times 1 0^{9}$

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3. 如图所示的是零件三通的立体图，则这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ A E C = 56 °$ ， $∠ B C D = 31 °$ ，则 $∠ B C E$ 的度数为（）

A、 $24 °$ B、 $25 °$ C、 $32 °$ D、 $34 °$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ B、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $3 a^{3} \div 2 a^{2} = \frac{3}{2} a^{3}$

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6. 已知 $a, b$ 为常数，且点 $A (a, b)$ 在第二象限，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - x + b = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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7. 某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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8. 如图，A、B、C、D是 $⊙ O$ 上的四个点， $A B = A C$ ， $A D$ 交 $B C$ 于点E ， $A E = 4$ ， $E D = 4$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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9. 如图是凸透镜成像示意图， $C D$ 是蜡烛 $A B$ 通过凸透镜 $M N$ 所成的虚像．已知蜡烛的高 $A B$ 为 $5.2 c m$ ，蜡烛 $A B$ 与凸透镜 $M N$ 的水平距离 $O B$ 为 $6 c m$ ，该凸透镜的焦距 $O F$ 为 $8 c m$ ， $A E / / O F$ ，则像 $C D$ 的高为（）

A、 $15.6 c m$ B、 $17.5 c m$ C、 $18.4 c m$ D、 $20.8 c m$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $O$ ，过 $O$ 点作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，过点 $O$ 作 $O D ⊥ A C$ 于 $D$ ，下列四个结论．
① $E F = B E + C F$ ；② $∠ B O C = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ A$ ；③点 $O$ 到 $△ A B C$ 各边的距离相等；④设 $O D = h$ ， $A B + A C = m$ ， $E F = n$ ，则 $S_{△ A E F} = \frac{1}{2} m h - \frac{1}{2} n h$ ，正确的结论有（）个．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共计18分）

11. 若使代数式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 2, 1)$ ， $B (3, 4)$ ，若 $x$ 轴上有一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小，则 $P$ 点坐标为．

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13. 若实数m、n满足 $| m - 2 | + {(n - 2024)}^{2} = 0$ ，则 $m^{- 1} + n^{0} =$ ．

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14. 传统服饰日益受到关注，如图甲，为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似的看作扇环如图乙，其中 $\overset{⌢}{A D}$ 长度为 $\frac{1}{3} π$ 米，裙长 $A B$ 为 $1.2$ 米，圆心角 $∠ A O D = 60 °$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 长度为米．（ $π \approx 3$ ）

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15. 湖南省旅游资源丰富，今年五一节”期间，湘江橘子洲头、张家界、伟人故里韶山、凤凰古城城这四个景区异常火爆，甲、乙两人准备在这四个景区中随机选择一个景区游玩，则他俩选择同一个景区游玩的概率是．

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16. 如图， $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $∠ A C E + ∠ B C E = 180 °$ ， $E F ⊥ A C$ 交 $A C$ 于F ， $A C = 12$ ， $B C = 8$ ，则 $A F =$ ．

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三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23 题每小题9分，第24、25 题每小题10 分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 计算： ${(π - 3.14)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{16} + t a n 45 °$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 8 \geq x ① \\ \frac{3 x - 1}{2} > x ② \end{array}$ ．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ．

(1)、求证： $∠ B A C = ∠ D A C$ ．

(2)、若 $A B ∥ C D$ ， $A B = 5$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

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20. 为促进学生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某校就学生对：A ．实心球；B ．立定跳远；C ．跑步；D ．跳绳，四种体育活动项目最喜欢的情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成如图1，图2的统计图，请结合图中的信息，解答下列问题：

(1)、本次被抽取的学生总人数是，将条形统计图补充完整．

(2)、随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中再任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．

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21. 2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图， $O A$ 是垂直于工作台的移动基座， $A B$ ， $B C$ 分别为机器人的大、小臂，其中小臂 $B C$ 为2米，大臂 $A B$ 为3米，移动基座 $A O = 3.02$ 米，当 $∠ A B C = 100 °$ 时， $∠ O A B = 137 °$ ，求此时点C到工作台 $E F$ 的距离（结果精确到0.1）
（参考数据： $s i n 43 ° \approx 0.68$ ， $c o s 43 ° \approx 0.73$ ， $t a n 43 ° \approx 0.93$ ， $s i n 53 ° \approx 0.8$ ， $c o s 53 ° \approx 0.6$ ， $t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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22. 如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面 $O A$ 宽为3.5米，河道坝高 $A E$ 为5米，B与A的水平距离 $B E$ 为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线 $O A$ 为x轴正方向建立平面直角坐标系．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？

(3)、水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？

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23. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B A D$ 的角平分线 $A E$ 交 $C D$ 于点F ，交 $B C$ 的延长线于点E ．

(1)、求证： $B E = C D$ ；

(2)、若 $B F$ 恰好平分 $∠ A B E$ ，连接 $A C 、 D E$ ，求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(3)、若 $B F ⊥ A E$ ， $∠ B E A = 60 °$ ， $A B = 4$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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24. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当 $0 \leq x < 10$ 和 $10 \leq x < 20$ 时，图象是线段：当 $20 \leq x \leq 40$ 时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：

(1)、点A的注意力指标数是；

(2)、当 $0 \leq x < 10$ 时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；

(3)、张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 $20$ 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 $36$ ？请说明理由．

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25. 如图1， $△ A B C$ 内接于⊙ $O$ ， $A B = A C$ ，点D为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点，连结 $C D$ 交 $A B$ 于点E ，连结 $A O$ 并延长交 $C D$ 于点F ，连结 $B D$ ．

(1)、当 $∠ B D C = 40 °$ 时，求 $∠ B A F$ 的度数；

(2)、如图2，当 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ， $E F = 2$ ， $C F = 3$ 时，求 $B E$ 的长；

(3)、如图3，当 $C D$ 为⊙ $O$ 的直径， $\frac{A C}{A E} = k$ ， $t a n ∠ A B D = \frac{1}{2}$ 时，求k的值．

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