新疆乌鲁木齐2023-2024学年六十一中高一（下）期中数学试卷

试卷更新日期：2024-06-14 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（）

A、有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B、有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C、用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D、棱台的各侧棱延长后必交于一点

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2. 如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 在斜二测画法下的直观图 $.$ 若 $B^{'} C^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为( )

A、 $2$
B、 $2 \sqrt{2}$
C、 $4$
D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 下列命题是真命题的是( )

A、空间任意三个点确定一个平面 B、一个点和一条直线确定一个平面
C、两两相交的三条直线确定一个平面 D、两两平行的三条直线确定一个或三个平面

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4. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系是( )

A、平行
B、相交
C、异面
D、不平行

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5. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$
B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$
C、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$
D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A O}$ ，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ． $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b} .$ 则 $\vec{D F} =$ ( )

A、 $\frac{1}{5} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{5} \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + b)^{2} - c^{2} = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $M$ ， $N$ 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 $M N / /$ 平面 $A B C$ 的是( )

A、 B、
C、 D、

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列结论正确的是( )

A、在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，直线 $B D^{'}$ 与 $B^{'} C$ 是异面直线
B、梯形的直观图仍是梯形
C、在正方体上取 $4$ 个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形
D、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

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10. 已知复数 $z$ 满足 $z i = (1 - 2 i)^{2}$ ，则( )

A、 $| z | = 5$ B、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限
C、 $z^{2} = 7 - 12 i$ D、 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 8 x + 25 = 0$ 的一个解

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11. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是( )

A、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$
B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形
C、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形
D、若 $b = 2$ ， $A = 30 °$ 的三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(1,2)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 向量 $\vec{a} = (1,2)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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13. 若复数 $z$ 满足 $(1 + \sqrt{3} i) z = | \sqrt{3} - i |$ ，则 $z$ 的虚部为.

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14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知复数 $z = m + 2 + (m - 2) i (i$ 为虚数单位 $)$ ，求适合下列条件的实数 $m$ 的值；

(1)、 $z$ 为实数；

(2)、 $z$ 为虚数；

(3)、 $z$ 为纯虚数．

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16. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C / /$ 平面 $P A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $A D / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ．

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17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量 $\vec{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos A ， \sin B)$ 平行．

(1)、求A。

(2)、若a= $\sqrt{7}$ ， b=2求△ABC的面积。

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18. 如图，圆锥 $P O$ 的底面直径和高均是 $a$ ，过 $P O$ 上的一点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．

(1)、若 $O^{'}$ 是 $P O$ 的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；

(2)、当 $O O^{'}$ 为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．

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19. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(3)、若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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