四川省成都市2023-2024学年嘉祥教育集团高一（下）期中数学试卷

试卷更新日期：2024-06-14 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = (2 + i^{3}) (1 - a i)$ 为纯虚数，则 $| z | =$ ( )

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $5$

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2. 设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $\vec{a}$ // $\vec{b}$ D、 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1,1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (\vec{a} - μ \vec{b})$ ，则( )

A、 $μ + λ = 0$ B、 $μ + λ = - 1$ C、 $μ λ = 1$ D、 $μ λ = - 1$

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4. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = x - 1$ 的交点个数为( )

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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5. 若 $c o s (\frac{π}{2} + 2 α) - 4 s i n^{2} α = - 2$ ，则 $t a n 2 α =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，其中线段 $B D$ 的中点在 $y$ 轴上，且 $△ B C D$ 的面积为 $2 π$ ，则 $f (x)$ 可以为( )

A、 $s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$
B、 $2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$
C、 $s i n (x + \frac{π}{3})$
D、 $2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

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7. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a c o s B - b c o s A = \frac{3}{5} c$ ，则 $\frac{t a n A - t a n B}{t a n B} =$ ( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知 $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $\frac{{s i n}^{4} θ + {c o s}^{4} θ}{{s i n}^{3} θ c o s θ - s i n θ {c o s}^{3} θ}$ 的最大值为( )

A、 $4$ B、 $1$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列命题正确的是( )

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$
B、方向为南偏西 $60 °$ 的向量与北偏东 $60 °$ 的向量是共线向量
C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平行向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$
D、若用有向线段表示的向量 $\vec{A M}$ 与 $\vec{A N}$ 不相等，则点 $M$ 与 $N$ 不重合

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10. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x + \frac{1}{s i n (\frac{2 π}{3} - 2 x)}$ ，则（）

A、 $f (x + \frac{π}{2}) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上的最大值为3 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的新图象关于 $y$ 轴对称

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11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 正方形 $A B C D$ 的边长是 $2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ ．

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13. 在凸四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $D A = 4$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，则 $c o s ∠ B C D =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {c o s}^{2} (\frac{5 π}{6} - ω x) + {s i n}^{2} ω x (ω > 0)$ ，若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{4}$ ，则当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x)$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 化简： $\frac{s i n 2 α}{2 c o s α} (1 + t a n α t a n \frac{α}{2})$ ，并指出 $α$ 的取值范围．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，求作向量 $\vec{c}$ ，使 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，表示 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 的有向线段能构成三角形吗？

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17. 已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = - 2 + i$ ， $z_{3} = - 1 - 2 i$ ，它们所对应的点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，在复平面上构成一个正方形的三个顶点．

(1)、画出示意图，验证说明 $A B ⊥ B C$ ；

(2)、求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

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18. 已知，在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{c o s B}{b} + \frac{c o s C}{c} = \frac{\sqrt{3} s i n A}{3 s i n C}$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若 $c o s B + \sqrt{3} s i n B = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19. 已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $\vec{O A} = \vec{O B} = \vec{O C}$ ， $\vec{A O} \cdot \vec{O B} = \vec{B O} \cdot \vec{O C} = \vec{C O} \cdot \vec{O A} = 2$ ，动点 $P$ 满足 $| \vec{A P} | = 1$ ， $M$ 是 $\vec{P C}$ 的中点．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $| \vec{B M} |$ 的最大值．

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