浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学

试卷更新日期：2024-06-14 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 已知集合 $A = {x \in N * | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 复数 $1 - i$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部是（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $i$

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x}}{l n x}$ 的定义域为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(0, 1) ∪ (1, + \infty)$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, m)$ ， $\vec{b} = (1, 1 + m)$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $m = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 当前我国青少年因脊柱健康患病的人数已经超过了500万，并且还在以每年30万的速度增长。已知某地小学、初中、高中三个学段的学生人数如图所示，为了解该地区学生的脊柱健康状况，现采用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生人数分别为（）

A、200，40 B、100，40 C、200，20 D、100，20

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6. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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7. 已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为2，则该正四棱台的体积为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{14}{3}$

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8. 温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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9. 设 $a$ ， $b$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ∥ α$ B、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$ C、若 $a ∥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$ D、若 $a ∥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$

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10. 已知 $t a n (x + y) = 2$ ， $t a n (x - y) = 3$ ，则 $\frac{t a n 2 x}{t a n 2 y} =$ （）

A、7 B、 $- 7$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s x$ ， $g (x) = | s i n x |$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $m (x) = f (x) \cdot g (x)$ 在 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 B、函数 $m (x) = f (x) \cdot g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $n (x) = f (x) + g (x)$ 的值域为 $[- 1, \sqrt{2}]$ D、函数 $n (x) = f (x) + g (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{4}$

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12. 如图所示，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的底面半径为 $\frac{4}{3}$ ， $O_{1} O_{2} = 4$ ， $A B$ 为圆 $O_{1}$ 的直径，点 $C$ 为圆 $O_{2}$ 上的动点，点 $P$ 为圆柱侧面上的动点（不含边界）， $C P ⊥$ 平面 $A B P$ ，则 $| C P |$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(0, \frac{8}{5}]$ C、 $(0, \frac{8}{5}] ∪ [\frac{8 \sqrt{2}}{3}, 4)$ D、 $(0, \frac{4}{3} \sqrt{5}] ∪ [\frac{8 \sqrt{2}}{3}, 4)$

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二、多项选题（本大题共4小题，小题4分，共16分．在每小题列出的四个选项中有多个符合题目要求，全部选对得4分，选对但不完全的得2分，选错或不选得0分）

13. 下列选项中正确的是（）

A、 $l o g_{3} 1.1 < l o g_{3} 1.2$ B、 ${(- 1.1)}^{3} < {(- 1.2)}^{3}$ C、 $0.9 9^{1.1} < 0.9 9^{1.2}$ D、 $0.9 9^{3} < 3^{0.99}$

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14. 某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（）

A、若不放回取球，则甲乙相互独立 B、若有放回取球，则甲乙相互独立 C、若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D、若有放回取球，则甲乙为互斥事件

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15. 双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为 $F (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $S (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $F (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $S (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ C、点 $(0, \frac{1}{2})$ 是曲线 $y = F (x) + S (x)$ 的对称中心 D、函数 $y = F (x) - S (x)$ 在 $x \in R$ 上有且仅有一个零点

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16. 如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = B C = \frac{1}{2} A B = 1$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为线段 $A D$ ， $B C$ 上的动点， $D M = B N = λ (0 < λ < 1)$ ，点 $P$ 为线段 $A B$ 中点，则以下说法正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M N} = \frac{3}{2} \vec{D C}$ B、 $c o s ∠ M P N = - \frac{1}{2}$ C、 $| \vec{P M} + \vec{P N} | \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、若 $I$ 为 $△ M N P$ 的外心，则 $\vec{D I} ∥ \vec{D C}$

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三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共12分）

17. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + a x + 1} (a \in R)$ 是偶函数，则 $a =$ ，函数 $f (x)$ 的单调递增区间为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = B C = 2$ ， $D$ 为 $A B$ 中点，沿 $C D$ 将 $△ A C D$ 翻折至 $△ A^{'} C D$ 的位置，使得平面 $A^{'} C D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 外接球的表面积为．

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20. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 4$ ， $\vec{B C} = 4 \vec{B D}$ ，连接 $A D$ ，满足 $D B \cdot s i n ∠ A B D = D C \cdot s i n ∠ A C D$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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四、解答题（本大题共3小题，共36分）

21. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 六组，绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)、若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？

(2)、估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数。

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22. 如图，直线 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ 相交于点 $O$ ， $A O = A^{'} O$ ， $B O = B^{'} O$ ， $C O = C^{'} O$ ， $O C = O A = A C = 3$ ， $O B = A B = 5$ ， $B C = 4$ ．

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A O C$ ；

(2)、 $M$ 为 $B^{'} C^{'}$ 中点，求 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值．

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23. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x + \frac{a}{2} x$ ， $g (x) = l o g_{2} (2 x) - \frac{a}{x}$ 的零点分别是 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，解不等式 $f (x) + g (x) \geq 2$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ，
①证明： $\frac{1}{2} < x_{1} x_{2} < 2$ ；
②若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $l o g_{2} (\frac{2 x_{2}}{x_{1}}) \geq \frac{9}{2} + 3 \sqrt{2}$ ，求 $x_{1} x_{2}$ 的最小值．

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