浙江省杭州市西湖区2024年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2024-06-13 类型：中考模拟

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列数中，属于负数的是（）

A、2024 B、﹣2024 C、 $\frac{1}{2024}$ D、1

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2. 如图所示的四个几何体中，俯视图不是矩形的是（）

A、圆锥 B、圆柱 C、长方体 D、三棱柱

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3. 2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元。数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（）

A、40.151×10¹² B、4.0151×10¹² C、4.0151×10¹¹ D、0.40151×10¹³

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4. 为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（）

A、90° B、72° C、54° D、20°

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5. 如图，在△ABC中，AB＝30，∠A＝37°，∠C＝33°，则点A到直线BC的距离为（）

A、30sin70° B、30cos70° C、30tan70° D、 $\frac{30}{s i n 70 °}$

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6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）

A、2a B、 $\frac{1}{a}$ C、a-1 D、a+1

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7. 利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 为抬高水平放置的长方体木箱ABCD的一侧（其中AB= $2 \sqrt{3} m$ ），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为60°的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，AO=2m，则此时木箱B点距离地面高度为（）

A、 $π m$ B、 $2 m$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} m$ D、 $\sqrt{3} m$

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9. 在平面直角坐标系中有 $A （ a, b ）$ 与 $B （ b, a ）$ 两点( $a 、 b \neq 0$ )，关于过 $A 、 B$ 两点的直线 $l$ 与二次函数 $y = a x_{}^{2} + b x + 1$ 图象的交点个数判定，哪项为真命题（）

A、只有b>0，才一定有两交点 B、只有b<0，才一定有两交点 C、只有a<0，才一定有两交点 D、只有a>0，才一定有两交点

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4 ， C D = \sqrt{10}$ 且 $t a n B = 3$ ，将其沿着直线 $E F$ 折叠使得点 $A$ 的对应点 $A'$ 恰好落在对角线 $A C$ 上，且满足 $A E : D E = 2 : 1$ .问： $Δ C E F$ 与平行四边形 $A B C D$ 的面积比为（）

A、 $\frac{4}{11}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 化简：3a﹣a＝．

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12. 在一个不透明的袋子里装有4个白球和2个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率为．

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13. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为．

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14. 如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝°．

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15. 如图，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连结CE，若∠DCE=∠B，则 $\frac{E F}{D F}$ 的值为.

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16. 借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数 $y_{1}^{} = x + 1$ 与 $y_{2}^{} = \frac{4}{x + 1}$ 性质的基础上，进一步探究函数 $y = y_{1}^{} + y_{2}^{}$ 的性质，以下结论：①当 $x ＞ - 1$ 时， $y$ 存在最小值；②当 $x ＜ - 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；③当 $y \geq 5$ 时，自变量的取值范围是 $x \geq 3$ ；④若点 $(a, b)$ 在 $y$ 的图象上，则点 $(- a - 2, - b)$ 也必定在 $y$ 的图象上.其中正确结论的序号有.

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三、解答题（本题共有8小题，共72分）

17. 解不等式：5x﹣3＜3（1+x）．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程。

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18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，分别过点A，D作BC，BA的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连结CE．AD.

(1)、求证：四边形ADCE是菱形；

(2)、若tan∠B= $\frac{4}{3}$ ， AB=3，求四边形ADCE的面积．

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19. 已知二次函数y＝x²﹣ax+b在x＝-1和x＝5时的函数值相等．

(1)、求二次函数y＝x²﹣ax+b图象的对称轴；

(2)、若二次函数y＝x²﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．

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20. 某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：

平均（分）
众数（分）
中位数（分）
方差（分2）
甲
75
a
b
93.75
乙
75
80，75，70
75
S_乙²

(1)、表中a＝， b＝；

(2)、求乙得分的方差；

(3)、根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．

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21. 始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔AB的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为37°，到点D处测得塔尖A的俯角为45°，测得飞行距离CD为140米．
请根据测得的数据，求出铁塔AB的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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22. 概念阐述：
在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S.

(1)、定量研究：
填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S.
图
①
②
③
④
b（个）
6
7
11
S（平方单位）
7.5
8.5
①②③④

(2)、描点：建立直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式.

(3)、结论应用：
结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数a=4，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由.

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23. 问题：如何设计击球路线？

情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上.

击球方案：

扣球	羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C₁：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m.
吊球	羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C₂ ，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米.
高远球	羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C₃：y=a(x-n)²+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间.

探究：

(1)、求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；

(2)、①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少；

②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；

(3)、通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，以C为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.

(1)、当 $∠ P D Q = 50 °$ 时，求劣弧PQ的度数；

(2)、当 $C E = C F$ 时，求AD的长；

(3)、连结 $C M$ ， $B M$ .
①证明： $M E \cdot C A = C M \cdot A D$ .
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.

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	平均（分）	众数（分）	中位数（分）	方差（分2）
甲	75	a	b	93.75
乙	75	80，75，70	75	S_乙²

图	①	②	③	④
b（个）	6	7		11
S（平方单位）			7.5	8.5