广东省惠州市惠东县2024年中考数学二模试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $π$ C、－1 D、0

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2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. “五一”假期全社会跨区域人员流动量约为13.6亿人次，比2019年同期增长24.1%．将数据“13.6亿”用科学记数法表示为（）

A、 $13.6 \times 1 0^{8}$ B、 $136 \times 1 0^{7}$ C、 $1.36 \times 1 0^{9}$ D、 $0.136 \times 1 0^{10}$

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4. 不等式 $3 x > 6$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 m + 3 n = 5 m n$ B、 $m^{4} \cdot m^{2} = m^{8}$ C、 $3 m^{2} - m^{2} = 2 m^{2}$ D、 ${(m^{2} n)}^{2} = m^{4} n^{4}$

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6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， $O E ∥ D C$ 交BC于点E ．若 $A D = 8 c m$ ，则OE的长为（）

A、6cm B、4cm C、3cm D、2cm

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7. 下列函数中，y随x增大而减小的是（）

A、 $y = - \frac{5}{x}$ B、 $y = - 2 x^{2} + 1$ C、 $y = \frac{3}{x} (x < 0)$ D、 $y = 3 x + 2$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A B = A C = 13$ ，点B ， C的坐标分别是 $(8, 12)$ ， $(8, 2)$ ，则点A的坐标是（）

A、 $(3, 6)$ B、 $(- 4, 5)$ C、 $(- 4, 6)$ D、 $(- 4, 7)$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， AE平分 $∠ B A C$ ，若 $∠ B = 44 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ D A E$ 的度数是（）

A、10° B、12° C、13° D、15°

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10. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若 $⊙ O$ 的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $π$ D、 $2 π$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 因式分解： $8 x^{2} - 8 y^{2} =$ ．

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12. 若分式 $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的值为0，则x的值为．

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13. 将抛物线 $y = x^{2} + 1$ 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为．

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14. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C为 $⊙ O$ 外一点，CA ， CD分别与 $⊙ O$ 相切于点A ， D ，连接BD ， AD ．若 $∠ A C D = 50 °$ ，则 $∠ D B A =$ ．

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15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F ，交AC于点E ．已知 $A E = 4$ ， $E C = 6$ ，则CD的长为．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．

16.

(1)、计算： $\sqrt{4} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 s i n 30 °$ ；

(2)、解方程组： ${\begin{cases} 6 x + y = 9 \\ 3 x - y = - 6 \end{cases}$ ．

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17. 某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠．期中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买6支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？

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18. 小明、小华一起到广州游玩，他们决定在三个热门景点（A．广州塔；B．白云山；C．广州博物馆）中各自随机选择一个景点游玩．

(1)、小华选择到广州博物馆游玩的概率是；

(2)、用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. 综合与实践
【实践背景】目前我国已是隧道数量最多、建设规模最大、发展速度最快的隧道大国，我国西部因山地众多，交通不便，因此修建隧道既可缩减通行距离，也可增强两地经济联系．
【问题情境】A县与B县隔山相望，A县要先绕行C地才可到达B县．为缩减路程，A县政府计划修建隧道AB连通A ， B两县．
【数据收集】某实践小组利用课余时间到该隧道实地进行数据测量、收集，并绘制如图所示的示意图．经过测量得到 $A C = 10 k m$ ， $∠ C A B = 25 °$ ， $∠ C B A = 45 °$ ．
【问题解决】

(1)、尺规作图：作AB边上的高CD；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、修建隧道后的路程比原来缩短了多少千米？（参考数据： $s i n 25 ° \approx 0.42$ ， $c o s 25 ° \approx 0.91$ ， $s i n 45 ° \approx 0.71$ ， $t a n 45 ° \approx 1.00$ ，结果精确到0.01）

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20. 花坛水池中央有一喷泉，水管 $O C = 3 m$ ，水从喷头C喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，为增强欣赏效果，喷头C不定时自动升降，上下升降的范围是 $\pm 1.2 m$ ．建立如图所示的平面直角坐标系，水的落地点B距水池中央的水平距离为 $n m$ ，水流所形成的抛物线L： $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 的最高点距离水面4m．

(1)、求a ， n的值以及抛物线的顶点坐标；

(2)、升降喷头C时，水流所形成的抛物线形状不变．某一时刻，身高1.65m的小丽同学，恰好站在距花坛中心水管2m的位置，则喷头C在升降过程中，水流是否会打湿小丽的头发？

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21. 如图，正比例函数 $y_{1} = k x$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{5 - k}{x}$ 的图象相交于A ， B两点，已知A点的横坐标是2．

(1)、分别求出这两个函数的表达式；

(2)、将直线 $y_{1} = k x$ 向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C ，与x轴和y轴分别交于点D ， E ．若 $\frac{C D}{D E} = \frac{1}{2}$ ，求m的值．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

22. 如图1，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{3} + 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $∠ A = 30 °$ ，点O为BC的中点， $⊙ O$ 分别与AB ， AC相切于点D ， E ，点P是 $\overset{⌢}{D E}$ 上的动点，过点P作 $⊙ O$ 的切线交AB ， AC于点M ， N ．

(1)、求点B到线段AC的距离；

(2)、如图2，当点P是 $\overset{⌢}{D E}$ 的中点时，求MN的长；

(3)、BM与CN的乘积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

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23. 综合探究
【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图1是一张矩形纸片ABCD ，其中 $A D = 8$ ， $A B = 6$ ．
【操作发现】

(1)、奋进小组先将图1中的矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使得点C落在点E处，BE交AD于点P ，得到图2，他们发现 $A P = E P$ ．请你证明这个结论；

(2)、创新小组将图1中的矩形纸片折叠，使得点A落在对角线BD上，记为点G ，折痕为BF ，得到图3，则 $D F =$ ；

(3)、【实践探究】
希望小组在创新小组操作的基础上，将图3中的纸片展开，然后提出一个问题：将矩形纸片ABCD沿直线AH折叠，使得点B落在对角线BD上的点 $B^{'}$ 处，然后将纸片展平，如图4所示，折痕AH交BF于点M ，交BD于点N ，试判断 $△ A M F$ 的形状；

(4)、请你根据希望小组的操作，求点G到AD的距离．

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