广东省广州市天河区2024年中考数学二模试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：中考模拟

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一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）

1. 欢欢放学回家看到弟弟用几个小正方体的积木搭建出如图的几何体，她用手机拍照得到这个几何体的三视图，其中左视图是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 民间剪纸是劳动人民为了满足精神生活需要而创造的，具有鲜明的艺术特色和生活情趣．下列剪纸图形是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, 4)$ ，则此图象一定经过点（）．

A、 $(1, 3)$ B、 $(- 2, - 4)$ C、 $(4, 2)$ D、 $(- 4, - 2)$

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4. 下列运算不正确的是（）．

A、 $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $2 a^{2} \cdot 3 a = 6 a^{3}$ D、 ${(\sqrt{3})}^{0} = 1$

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5. 代数式 $\sqrt{\frac{2}{x - 5}}$ 有意义时，则x应满足的条件是（）．

A、 $x > 5$ B、 $x \neq 5$ C、 $x < 5$ D、 $x \geq 5$

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6. 彤彤在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位： $m^{3}$ ）如下：7，5，13，6，9，11，5．这组数据的中位数和平均数分别是（）．

A、7，6 B、6，7 C、6，8 D、7，8

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7. 有理数a ， b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ， $- a$ ， b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）．

A、 $a < - a < b$ B、 $- a < b < a$ C、 $- a < a < b$ D、 $b < - a < a$

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ ，则下列选项中不正确的是（）．

A、 $a < 0$ B、 $b = 2 a$ C、 $b^{2} - 4 a c > 0$ D、 $a + b + c < 0$

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9. 如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有 $1 \times 1$ 个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有 $2 \times 2$ 个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有 $3 \times 3$ 个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（）．

A、5100 B、3800 C、2650 D、588

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10. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，点E ， F分别是矩形的边 $A D$ ， $B C$ 上的动点，点B关于直线 $E F$ 对称的点 $B^{'}$ 刚好落在边 $A D$ 上， $E F$ 与 $B B^{'}$ 交于点O ．连接 $B E$ ， $B^{'} F$ ，以下四个结论：①四边形 $B F B^{'} E$ 是菱形；②当点 $B^{'}$ 与点D重合时， $E F = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ；③ $△ B E O$ 的面积S的取值范围是 $\frac{9}{4} \leq S \leq \frac{7}{2}$ ；④当 $C F = \frac{5}{2}$ 时，四边形 $A B F E$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{13} + 21}{4}$ ．正确的是（）．

A、①②④ B、①②③ C、③④ D、①②

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二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）

11. 某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为 $200 g$ ），为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了60袋，测得它们的实际质量分析如表：则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是（填“甲”或“乙”）．
分装机
平均数
方差
甲
200
15.24
乙
200
7.83

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12. 因式分解： $a^{2} - 14 a + 49 =$ ．

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13. 某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是．

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14. $□ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ， $△ O A B$ 是等边三角形， $A B = 4$ ，则 $□ A B C D$ 的面积等于．

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，且 $A B ⊥ C D$ ， $∠ C A D = 40 °$ ，则 $A C$ 与 $C D$ 的长度的比值为．

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16. $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 2$ ，点D是 $B C$ 边的中点，把点D绕点B逆时针旋转 $60 °$ 得到点E ，连接 $A E$ ，则线段 $A E$ 的最小值是．

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三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）

17. 解分式方程 $\frac{6}{x - 2} = 3$ ．

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18. 古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知 $A B = B C$ ， $∠ A B D = ∠ C B D$ ，求证： $A D = C D$ ．

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19. 某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名．

(1)、填空：小聪抽到《数学大爆炸》是事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”）

(2)、请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率．

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20. 一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货。平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)、求y与t之间的函数解析式；

(2)、南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

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21. 已知 $T = (2 a + 3 b) (2 a - 3 b) - a (3 a - b) + 9 b^{2}$ ．

(1)、化简T；

(2)、若a ， b互为相反数，求T的值．

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22. 如图， $△ A B C$ 中，E是边 $A C$ 的中点， $A D ⊥ B C$ ，垂足是D ．

(1)、作 $△ A B C$ 的高 $C F$ （尺规作图，保留作图痕迹）；

(2)、连接 $D F$ ，若 $∠ B = 45 °$ ，求 $\frac{D F}{A C}$ 的值．

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23. 小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方A处与坐垫下方B处的连线平行于地面水平线，C处为齿盘的中轴，测得 $A C = 50 c m$ ， $∠ B A C = 41 °$ ， $∠ A B C = 60 °$

(1)、求 $A B$ 的长度（结果保留整数）；

(2)、若点C到地面的距离 $C D$ 为 $30 c m$ ，坐垫中轴E与点B的距离 $B E$ 为 $6 c m$ ，根据小亮同学身高比例，坐垫E到地面的距离为 $66 c m$ 至 $70 c m$ 之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．
（参考数据： $s i n 41 ° \approx 0.66$ ， $c o s 41 ° \approx 0.75$ ， $t a n 41 ° \approx 0.87$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 如图1，正方形 $A B C D$ 中，点E是边 $B C$ 上任意一点（不与点B重合），以 $B E$ 为边在它的外侧作正方形 $B E F G$ ，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接 $M P$ ．

(1)、填空：当 $A B = 10$ 时，线段 $M P$ 长的最大值是；

(2)、在正方形 $A B C D$ 的边上，是否存在一点Q ，使得 $△ M P Q$ 为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2．连接 $A E$ 并延长，与 $D F$ 交于点O ．求 $∠ D O A$ 的度数，并求出 $D F$ 与 $A E$ 的数量关系．

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25. 在平面直角坐标系中，将过点 $(2, - 1)$ 的抛物线 $C_{1} : y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x$ （b为常数）向右平移m个单位（ $m > 0$ ），再向上平移n个单位（ $n \geq 0$ ）得到新的抛物线 $C_{2}$ ，其顶点为E ．

(1)、求点E的坐标；（用含m ， n的式子表示）

(2)、若抛物线 $C_{2}$ 与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标；

(3)、当 $n = 1$ 时，抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D ，且当 $0 \leq x \leq 2$ 时，对抛物线 $C_{1}$ 上的任意一点P ，在抛物线 $C_{2}$ 上总存在一点Q ，使得点P ， Q的纵坐标相等，探究下列问题：
①求m的取位范围；
②若存在一点F ，满足 $D F = A F = B F$ ，求点F的纵坐标的取值范围．

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分装机	平均数	方差
甲	200	15.24
乙	200	7.83