四川省南充市2024年九年级中考数学第三次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2024-06-13 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 计算： $3 + (- 3)$ 的结果等于（）

A、6 B、0 C、-6 D、-9

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, ∠ A = 5 0^{°}$ ，将 $△ A B C$ 沿AB向右平移得 $△ D E F$ ，则 $∠ F$ 的度数为（）

A、 $5 0^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $3 0^{°}$

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3. 在学习《用频率估计概率》时，为验证拋掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上"发生的可能性相等，老师让同学们用试验进行检验。小彤抛掷一枚硬币，前5次都掷出“反面向上”，若她第6次掷出“正面向上”的概率为 $P$ ，则（）

A、 $P = \frac{1}{2}$ B、 $P > \frac{1}{2}$ C、 $P < \frac{1}{2}$ D、无法确定

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4. 若 $y = (m - 1) x^{| m |} + 2$ 是 $y$ 关于 $x$ 的一次函数，则其图象不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知： $\frac{a - b}{a + b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、3

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6. 中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有笔不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问华长几何?”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈 $= 10$ 尺，1尺=10寸），问竹竿长多少?若设竹竿长 $x$ 尺，则可列方程为（）

A、 $\frac{x}{15} = \frac{0.5}{1.5}$ B、 $\frac{x}{15} = \frac{1.5}{0.5}$ C、 $\frac{x}{1.5} = \frac{0.5}{15}$ D、 $\frac{x}{0.5} = \frac{15}{1.5}$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB是直径，BC是弦， $∠ A B C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接AC，AD，若 $A B = 10, B C = 6$ ，则BD的长为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、8

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 7, B C = 4$ ，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧分别交边AB，AD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线AP分别交CD，BD于点E，G，交BC的延长线于点 $F$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $A B = B F$ B、 $C F = 3$ C、 $D G : D B = 4 : 11$ D、 $E F = 2 G E$

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9. 已知 $x + y - 1 = 0, y + z - 2 = 0$ ，则 $(x - y + z) (1 - \frac{z}{x})$ 的值是（）

A、-1 B、-3 C、1 D、3

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10. 已知抛物线 $C_{1} : y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与抛物线 $C_{2} : y_{2} = m x^{2} - 6 m x + 9 m + 2 (m \neq 0)$ 关于点 $P (- 1, 0)$ 成中心对称，若当 $- 6 ⩽ x ⩽ - 2$ 时， $y_{1}$ 有最大值为4，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、-6 C、 $- \frac{2}{3}$ D、-6或 $- \frac{2}{3}$

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二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分．

11. 若 $x + y = 5, x - y = 1$ ，则 $x^{2} - y^{2}$ 的值为．

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12. 某气象局统计了A、B两座城市某周的每日最高气温的平均值都是 $2 3^{°} C$ ，方差分别为 $S_{A}^{2} = 1.5, S_{B}^{2} = 6$ ，则两座城市这周每日最高气温更为稳定的是城市．（填“ $A$ ”或“ $B$ ”）

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13. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，过点 $C$ 作 $C D ⊥ B C$ ，与 $∠ A B C$ 的平分线交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E / / B C$ ，交AB于点 $E$ ，若 $B C = 9$ ，则AE的长为．

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14. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来。经测试，在急刹车时，汽车刹车距离 $S (m)$ 与滑行时间 $t (s)$ 的满足函数关系式为： $S = - 2 t^{2} + 8 t + 7$ ．则急刹车时汽车最远要滑行 $m$ 才能停下．

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15. 如图，点 $A$ 在双曲线 $y = \frac{a}{x} (x < 0)$ 上，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，与双曲线 $y = \frac{b}{x} (x < 0)$ 交于点 $B$ ，点 $C$ 是OA的中点，若 $△ A B C$ 的面积为3，则 $1 - 2 a + 2 b$ 的值为．

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16. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 16, B C = 12$ ，点 $P$ 是CD边上一动点，将 $△ A D P$ 沿AP翻折得到 $△ A E P$ ，延长AE与直线BC交于点 $F$ ．下列结论：
①若 $P D = P C$ ，则 $E F = C F$ ；
② $∠ E P C$ 与 $∠ E F C$ 一定互补；
③若 $E F = B F$ ，则 $D P = 9$ ．
其中正确的结论是．（填写序号）

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三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算： $202 4^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - | 3 - \sqrt{18} | + 6 c o s 4 5^{°}$

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18. 如图，在矩形ABCD中，点 $E$ 在BC边上，且 $A E = A D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F = D C$ ；

(2)、若 $B E = 6, C E = 4$ ，求DF的长.

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19. 2024年4月24日，是第九个“中国航天日”，某校为普及航天知识，共筑航天梦想，在七年级举行了航天知识竞赛活动，为了解七年级500名学生此次航天知识竞赛成绩(百分制)，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图.
航天知识竞赛成绩分组统计表
组别
成绩
频数
A
$60 ⩽ x ⩽ 70$
9
B
$70 ⩽ x < 80$
m
C
$80 ⩽ x < 90$
16
D
$90 ⩽ x ⩽ 100$
15
请根据图表信息解答以下问题：

(1)、本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量为，统计表中 $m$ 的值为；

(2)、若90分及以上评为“优秀”，请你估计，七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有多少人?

(3)、此次航天知识竞赛中有小颖和小伟等5位同学获得满分，学校决定从这5名同学中随机选取2名同学作为航天知识宣传员，用列表法或画树状图方法求小颖和小伟两人中只有1人被选中的概率．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 k x + k^{2} - k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、设方程的两个实数根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $(\frac{1}{x_{1}} - 2) (\frac{1}{x_{2}} - 2) = 3$ ，求 $k$ 的值．

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象在第一象限交于 $A (1, 6), B (a, 1)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、点 $P$ 是直线AB下方第一象限双曲线上一动点，当 $△ A B P$ 的面积最大时求点 $P$ 的坐标．

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22. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，点 $O$ 在AC上， $A D ⊥ B O$ 于 $D$ ，以 $O$ 为圆心，OC为半径作 $⊙ O, ∠ D A B = ∠ C O B$ ．

(1)、求证：AB是 $⊙ O$ 的切线：

(2)、若 $O A = 13, c o s ∠ D A B = \frac{5}{13}$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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23. 某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中 $A$ 城生产 $x$ 件， $A$ 城生产产品的总成本 $y$ （元）与产品数量 $x$ （件）之间满足函数关系式 $y = x^{2} + 20 x, B$ 城生产产品的成本为每件60元．

(1)、若 $A$ 城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本．

(2)、设A，B两城生产这批产品总成本共 $w$ 元，求 $w$ 天于 $x$ 的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案；

(3)、在（2）的生产方穼下，要把这批产品全部运往C，D两地，从 $A$ 城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从 $B$ 城运往C，D两地的费用分别为 $a$ 元/件 $(a$ 为常数， $a > 0$ ）和30元/件； $C$ 地需要150件， $D$ 地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案。

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24. 如图1，在正方形ABCD中，点 $E$ 是BC边上一动点，将 $△ A B E$ 沿BA向左平移得到 $△ F G H$ ，且 $B G = C E, H F$ 与AD相交于点 $I$ ，连接DF，DE，IG.

(1)、求证：DF=DE；

(2)、探究IG与DE的位置关系，并说明理由；

(3)、如图2，点P是FH上一动点，过点 $P$ 作 $F H ⊥ M N$ ，分别与FG，射线CD交于点M，N，连接FN，HM，若 $A B = 10$ ，当 $△ D F H$ 面积取最小值时，求 $F N + H M$ 的最小值．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 . (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0), B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $M$ 是直线BC下方的抛物线上一点，过点 $M$ 作 $M N ⊥ B C$ 于点 $N$ ，若 $\frac{M N}{B N} = \frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 的坐标；

(3)、点 $P$ 是 $y$ 轴正半轴上一点，以PB为边向下作正方形BPQR，当点 $C$ 落在正方形BPQR的边上时，求点 $P$ 的坐标．

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组别	成绩	频数
A	$60 ⩽ x ⩽ 70$	9
B	$70 ⩽ x < 80$	m
C	$80 ⩽ x < 90$	16
D	$90 ⩽ x ⩽ 100$	15