浙江省衢州市开化县2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，第1—5题每题2分，第6—10题每题3分，共25分）

1. 下列是二元一次方程的是（）

A、 $3 x - 6 y$ B、 $2 x - 3 y = x^{2}$ C、 $2 x - \frac{3}{y} = 1$ D、 $3 x - 2 y = 0$

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2. 如图，在所标识的角中，内错角是（）

A、 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ B、 $∠ 2$ 和 $∠ 3$ C、 $∠ 1$ 和 $∠ 3$ D、 $∠ 2$ 和 $∠ 4$

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3. 如图，将 $△ A B C$ 沿射线BC平移到 $△ D E F$ ，则下列线段的长度表示平移距离的是（）

A、BC B、BF C、BE D、CE

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4. $x^{7}$ 可以表示为（）

A、 $x^{3} + x^{4}$ B、 $x^{9} - x^{2}$ C、 ${(- x^{3})}^{4}$ D、 $x^{3} x^{4}$

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5. 下列能用平方差公式直接计算的是（）

A、 $(m + 1) (m + 1)$ B、 $(n - 3) (3 - n)$ C、 $(x + 2) (x - 2)$ D、 $(x + 2 y) (2 x - y)$

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6. 如图，将一块三角板中含有60°角的顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 1 = 2 ∠ 2$ ，那么 $∠ 1$ 的度数为（）

A、80° B、70° C、40° D、30°

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7. 下列说法错误的是（）

A、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. C、两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等. D、在同一个平面内，不相交的两条直线是平行线.

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8. 《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，可列方程组（）

A、 ${\begin{cases} 8 x + 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 8 x + 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 8 x - 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 8 x + 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{cases}$

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9. 若代数式 $y^{2} - 2 x = 1$ ，则 ${(x - 1)}^{2} - (x - y) (x + y)$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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10. 图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（）

A、8 B、12 C、15 D、16

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二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

11. 计算 $3 a \cdot (2 b)$ 的结果是．

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12. 已知 $a + 5 b = 2$ ，用含a的代数式表示b ，则 $b =$ .

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13. 如图，已知 $∠ 1 = 43 °$ ， $∠ 2 = 43 °$ ， $∠ 3 = 92 °$ 则 $∠ 4$ 的度数是.

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14. 已知关于x ， y的二元一次方程 $2 x - 3 y = t$ ，其部分值如下表所示，则p的值是.
x
m
$m + 1$
y
n
$n - 1$
t
8
p

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15. 将一条长方形纸带的一端沿EF折叠成图1， $∠ 1 = α$ .
⑴若 $α = 36 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为.
⑵将图1的另一端先沿GH折叠成图2，再沿CG折叠成图3，若 $B E ∥ G H$ ，则 $∠ 3$ 的度数为.（用含 $α$ 的代数式表示）

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三、解答题（本题有8小题，第16—19题每题6分，第20—21题每题8分，第22—23题每题10分，共60分.请务必写出解答过程）

16. 如图，若 $∠ A B C + ∠ C = 180 °$ ， BD平分 $∠ A B C$ ，则 $∠ C B D = ∠ D$ .完成下面的说理过程：
解：∵ $∠ A B C + ∠ C = 180 °$ ，
根据（）
得： $∥$ .
再根据“两直线平行，内错角相等”，
得 $∠ A B D =$ .
∵BD平分 $∠ A B C$ ，
∴.
∴ $∠ C B D = ∠ D$ .

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17. 解下列二元一次方程组：

(1)、 ${\begin{cases} x = y + 3 \\ x + 2 y - 15 = 0 \end{cases}$

(2)、 ${\begin{cases} 3 x + y = 3 \\ x + 3 y = 7 \end{cases}$

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18. 计算：

(1)、 $2 x (3 y - x^{2}) + 2 x \cdot x^{2}$

(2)、 $(3 a - 2) (4 a + 1)$

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19. 在边长为1的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，按要求画图：

(1)、点P在格点上，请在图1中，将 $△ A B C$ 平移至 $△ E P F$ ，点P和点B是对应点.

(2)、请在图2中找一格点Q ，连结QB ，使 $∠ Q B A = ∠ B A C$ .

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20. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 80 °$ .

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数.

(2)、若AE平分 $∠ B A D$ 交BC于点E ， $∠ B C D = 50 °$ ，请说明 $A E ∥ D C$ 的理由.

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21. 实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度 $V (m / s)$ 随着运动时间 $t (s)$ 的改变而改变，它的速度可用公式 $V = V_{0} + a t$ 计算，已测得当 $t = 1 (s)$ 时，速度 $V = 5.5 (m / s)$ ；当 $t = 6 (s)$ 时，速度 $V = 18 (m / s)$ ，求：

(1)、 $V_{0}$ ， a的值.

(2)、当速度 $V = 21 (m / s)$ 时该物体的运动时间t.

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22. 完全平方公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 不仅具有一定的几何意义，而且将其进行适当变形后还可以解决很多数学问题.
例如：若x满足 $(x - 2) (x + 3) = 10$ ，
求 ${(x - 2)}^{2} + {(x + 3)}^{2}$ 的值.小军的解法如下：
解：设 $(x - 2) = a$ ， $(x + 3) = b$ ，
则 $a b = (x - 2) (x + 3) = 10$ ，
$a - b = (x - 2) - (x + 3) = - 5$ .
∴ ${(x - 2)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = {(- 5)}^{2} + 2 \times 10 = 45$ .

(1)、将图1中的四个小长方形拼成一个如图2所示的大正方形，求解下列问题
①观察图2，请你用等式表示 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， ab之间的数量关系.
②若 $x + y = 5$ ， $x y = 4$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值.

(2)、若x满足 $(x + 4) (x - 1) = 6$ ，求 ${(2 x + 3)}^{2}$ 的值.

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23. 根据以下素材，探索完成任务

背景	为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1	买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2	为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3	班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的 $\frac{1}{3}$ .
问题解决
任务1	问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2	在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3	结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？

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