四川省广元市剑阁县2023-2024学年九年级下学期数学第一次诊断性监测试卷

试卷更新日期：2024-06-13 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1. $- \sqrt{23}$ 的相反数是（）

A、 $- \sqrt{23}$ B、 $- \frac{\sqrt{23}}{23}$ C、 $\sqrt{23}$ D、23

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{4})}^{4} \div a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{9}$ C、 ${(- 3 a)}^{3} = 27 a^{3}$ D、 $(- a - 2 b) (- a + 2 b) = a^{2} - 4 b^{2}$

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3. 如左图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = 118 °$ ，则 $∠ 4 =$ （）

A、48° B、62° C、68° D、72°

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5. 某校开展了“新时代好少年·传承经典·筑梦未来”的主题演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）

A、众数是82 B、中位数是84 C、方差是84 D、平均数是85

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6. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱边框后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少厘米？设边框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{27 - x}{54 - x} = \frac{11}{20}$ B、 $\frac{27 + x}{54 + x} = \frac{11}{20}$ C、 $\frac{27 - 2 x}{54 - 2 x} = \frac{11}{20}$ D、 $\frac{27 + 2 x}{54 + 2 x} = \frac{11}{20}$

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7. “五一节”期间，张老师一家自驾游去了离家170km的某地，如图是他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象．当他们出发2.2h时，离目的地还有（）

A、12km B、24km C、146km D、164km

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8. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ．根据步骤作图：①分别以点A ， C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M ， N；②作直线MN ，交AB于点D ，交AC于点E ．若 $S_{△ A B C} = 9$ ，则 $S_{△ A D E} =$ （）

A、2 B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{27}{4}$

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9. 如图，在菱形ABCD中， $∠ B A D = 135 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， P是菱形ABCD内或边上的一点，且 $∠ D A P + ∠ C B P = 90 °$ ，连接DP ， CP ，则△DCP的面积的最小值为（）

A、 $8 \sqrt{2} - 8$ B、 $8 - \frac{5}{2} \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的对称轴是 $x = 1$ ，且经过点 $(0, 2)$ ，与x轴的一交点在 $(- 2, 0)$ 和 $(- 1, 0)$ 之间，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a + b \geq m (a m + b)$ （m为常数）；③若 $(2, y_{1})$ ， $(\frac{1}{2}, y_{2})$ ， $(- 2, y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ ；④ $- \frac{2}{3} < a < - \frac{1}{4}$ ，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 分解因式： $4 a^{2} b^{2} - 1 =$ ．

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12. 2024年春节，女皇故里——广元彩灯会续写女儿节的神话，彩灯会于2月2日正式开园，于3月8日闭园，历时36天，吸引了超30万市民游客前来观灯打卡，点燃春节新年氛围．将数据30万用科学记数法表示为．

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值为．

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14. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点C处，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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15. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边AD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则 $P A + P E$ 的最小值是．

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16. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $△ A_{5} A_{6} A_{7}$ ， …，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2, 0)$ ， $A_{2} (1, 1)$ ， $A_{3} (0, 0)$ ，按此规律，则点 $A_{2024}$ 的坐标为．

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三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： $(- 1)^{2024} - 2 \times {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + \sqrt{25} \div (- \frac{1}{5})$

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18. 先化简，再求值： $(\frac{3}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1}$ ，其中 $x = - 6$ ．

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19. 用一把刻度尺（可测长度、可画直线）画边长为2cm的菱形．

(1)、如图1，小明的画法如下：
①画等腰三角形ABC ，使 $A B = A C = 2 c m$ ；
②量取BC的中点D ，画射线AD；
③在射线AD上量取点E ，使 $D E = D A$ ；
④连接EB ， EC ，得到四边形ABEC ．
小明所画的四边形ABEC是否符合题意？请说明理由．

(2)、如图2，在等腰三角形ABC中， $A B = A C = 4 c m$ ，请你在等腰三角形ABC中，设计一种画法（与小明的画法不同），画出一个边长为2cm的菱形，写出简要步骤，并说明理由．

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20. 某校组织学生进行了四个生物实验：A．饲养家蚕实验，B．制作泡菜实验，C．探究种子萌发的条件，D．测定某种食物中的能量．实验结束后，该校就部分学生对这四个生物实验的喜爱情况（每人只选一项）进行了抽样调查，将调查情况制成了如下的尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、本次一共调查了名学生，图2中A所在扇形的圆心角的度数为；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、若从两名男生，两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱生物”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．

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21. 如图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，如图2是其侧面示意图，其中AB ， CD都与地面l平行，车轮半径为32cm， $∠ B C D = 64 °$ ， $B C = 60 c m$ ，坐垫E与点B的距离BE为18cm．

(1)、求坐垫E到地面的距离；

(2)、根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求出EE'的长．（C ， B ， E在一条直线上）（结果精确到0.1cm．参考数据： $s i n 64 ° = 0.90$ ， $c o s 64 ° = 0.44$ ， $t a n 64 ° = 2.05$ ）

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22. 某公司准备组织20名员工去剑门关和剑门关天赐温泉团建．已知在某平台上购买2张剑门关和1张剑门关天赐温泉的门票一共需要280元；购买1张剑门关和2张剑门关天赐温泉的门票一共需要260元．

(1)、求每张剑门关和剑门关天赐温泉的门票价格；

(2)、设这20名员工中有 $m (m \geq 0)$ 名去剑门关，且去剑门关的员工数量不得多于去剑门关天赐温泉的3倍，若这20名员工的门票总价为W元，求W的最大值．

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23. 如图，一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (m, 1)$ ， $B (2, - 3)$ 两点，与y轴交于点C ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出关于x的不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、设D为线段AC上的一个动点（不包括A ， C两点），过点D作 $D E ∥ y$ 轴交反比例函数的图象于点E ，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．

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24. 如图，△ABC内接于 $⊙ O$ ， AB为 $⊙ O$ 的直径，弦CD平分∠ACB ，交AB于点E ，以ED ， EB为邻边作平行四边形EDFB ，延长FB交AC的延长线于点G ．

(1)、求证：DF与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $t a n A = 2$ ， $C G = 4$ ，求BF的长．

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25. 在正方形ABCD中，E ， F分别为AB ， BC上两点，连接DE ， AF ，将△ABF沿AF翻折，得到△AGF ，连接BG ，且 $B G ∥ D E$ ．

(1)、如图1，求证： $A E = B F$ ；

(2)、如图2，对角线BD交AF于点H ，连接AC ， GH ，若点G落在AC上，求证：四边形CHBF为菱形；

(3)、如图3，若E为AB的中点，连接BD交AF于点H ，连接CG ， GH ，求 $t a n ∠ H B G$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与直线 $l : y = k x + m$ 交于 $A (1, 1)$ ， B两点，与y轴交于 $C (0, 5)$ ，直线l与y轴交于点D ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、设直线l与抛物线的对称轴的交点为F ，若 $\frac{A F}{F B} = \frac{3}{4}$ ，求直线l的函数解析式；

(3)、若在x轴上存在一点P ，使 $∠ A P B = 90 °$ ，且 $A P = B P$ ，求出h的值．

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