江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共6小题共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{6} = 3$ B、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$

查看试题解析
2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）

A、 $3$ ， $4$ ， $5$ B、 $6$ ， $8$ ， $10$ C、 $1$ ， $3$ ， $\sqrt{7}$ D、 $5$ ， $12$ ， $13$

查看试题解析
3. 在如图的网格中，小正方形的边长均为1， $A 、 B 、 C$ 三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $A B = 2 \sqrt{5}$ B、 $∠ B A C = 90 °$ C、 $S_{△ A B C} = 10$ D、点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离是2

查看试题解析
4. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $- \sqrt{137}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ D、 $\sqrt{144}$

查看试题解析
5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，连接 $A C$ ，分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M$ ， $N$ ，直线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ．下列结论：①四边形 $A E C F$ 是菱形；② $∠ A F B = 2 ∠ A C B$ ；③ $A C \cdot E F = C F \cdot C D$ ；④若 $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $C F = \sqrt{3} A B$ ．其中正确结论的个数是（　　）

A、4 B、3 C、2 D、1

查看试题解析
6. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中 $F M, G N$ 是折痕．若正方形 $E F G H$ 与五边形 $M C N G F$ 的面积相等，则 $\frac{F M}{G F}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．

7. 如图， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $B C = 4$ ，则 $D E$ 的长是．

查看试题解析
8. 使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式 $\sqrt{169}$ ，计算结果为13，中间加一个大写字母X ，就得到一个六位密码“ $169 X 13$ ”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式 $\sqrt{121}$ 产生的六位密码是．

查看试题解析
9. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在 $R t △ A B C$ 中，若直角边 $A C = 6$ ， $B C = 5$ ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是．

查看试题解析
10. 已知 $\sqrt{11} - 1$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $(\sqrt{11} + a) (b + 1)$ 的值是．

查看试题解析
11. 将1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ 按下列方式排列．若规定 $(m, n)$ 表示第m排从左向右第n个数，则 $(15 ， 7)$ 与 $(100 ， 9)$ 表示的两数之积是．

查看试题解析
12. 已知在平面直角坐标系中A（﹣2 $\sqrt{3}$ ， 0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为．

查看试题解析

三、解答题：（本大题共5小题，共30分）

13. 计算：

(1)、 $| - \sqrt{3} | + \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{5} - 1)}^{2} + \sqrt{5} \times (\sqrt{5} + 2)$ ．

查看试题解析
14. 在数学活动课上，老师带领学生去测量校园旗杆高度．如图，某学生在点A处观测到旗杆顶部C ，并测得 $∠ C A D = 45 °$ ，在距离 $A$ 点30米的 $B$ 处测得 $∠ C B D = 30 °$ ，求旗杆 $C D$ 的高度（结果可带根号）．

查看试题解析
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB ， D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E ，垂足为F ，连接CD、BE ．

(1)、求证：CE＝AD；

(2)、当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．

查看试题解析
16. 如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

(1)、在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；

(2)、在图2中，画出一个以AF为边的菱形．

查看试题解析
17. 阅读下列解题过程，按要求回答问题．
化简： $\frac{x}{y - x} \sqrt{\frac{y^{3} - 2 x y^{2} + x^{2} y}{x}} (y < x < 0)$
解：原式= $\frac{x}{y - x} \sqrt{\frac{y (y - x)^{2}}{x}}$ ①
= $\frac{x (y - x)}{y - x} \sqrt{\frac{y}{x}}$ ②
= $x \cdot \frac{1}{x} \sqrt{x y}$ ③
= $\sqrt{x y}$ ④.

(1)、上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；

(2)、请写出你认为正确的解答过程．

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，

(1)、求高台A比矮台B高多少米？

(2)、求旗杆的高度OM；

(3)、玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．

查看试题解析
19. 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形 $A B C D$ 中， $G$ 为 $A B$ 上一点．

(1)、如图 $1$ ，连接 $D G ， C G$ ， $C H ⊥ D G$ 于点 $H$ ，图中有 ▲ 对“勾股三角形”；分别是哪几对？

(2)、如图 $2$ ，以 $C G$ 为边作矩形 $C G F E$ ，若点 $D$ 在 $B F$ 上， $C G = 5$ ， $C B = 4$ ，求 $D E$ 的长．（提示：连接 $D G$ ）

查看试题解析
20. 如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ C = 90 °$ ， $BC = 16$ ， $DC = 12$ ， $AD = 21$ ，动点P从点D出发，沿线段 $DA$ 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 $CB$ 上以每秒1个单位长的速度向点 $B$ 运动；点P， $Q$ 分别从点D，C同时出发，当点 $P$ 运动到点 $A$ 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.

(1)、当 $t = 2$ 时，求 $△ BPQ$ 的面积；

(2)、若四边形 $ABQP$ 为平行四边形，求运动时间 $t$ .

(3)、当 $t$ 为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？

查看试题解析
21. 如图，C为线段 $B D$ 上的一个动点，分别过点B ， D在 $B D$ 两侧作 $B A ⊥ B D ， D E ⊥ B D$ ，连接 $A C ， C E$ ．已知 $A B = 5 ， D E = 9 ， B D = 8$ ，设 $B C = x$ ．

(1)、用含 $x$ 的代数式表示 $A C + C E$ 的长．

(2)、当点C满足什么条件时， $A C + C E$ 的值最小？

(3)、根据（2）中的结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值．

查看试题解析
22. 已知，▱AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点B（8，0）．

(1)、如图1，点A（2，2 $\sqrt{3}$ ），则OA的长为；

(2)、如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC ， AB ， OB于点E ， D ， F ．
①求证：四边形AFBE是平行四边形；
②若点A（0，4），动点P ， Q分别从点A ， B以每秒1个单位长度和每秒0.8个单位长度的速度同时出发匀速运动，动点P自A→F→O→A停止，Q自B→C→E→B停止．请问是否存在▱APBQ ，若存在，直接写出点P ， Q的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
23. 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形 $A B C D$ （ $A B < B C$ ）的对角线的交点 $O$ 旋转（ $①$ $\Rightarrow$ $②$ $\Rightarrow$ $③$ ），图中的 $M ， N$ 分别为直角三角形的直角边与矩形 $A B C D$ 的边 $C D ， B C$ 的交点．

(1)、解决问题：该学习小组成员意外的发现图 $①$ （三角板一直角边与 $O D$ 重合）中，此时发现 $B N ， C D ， C N$ 这三条线段之间满足以下的数量关系： $B N^{2} = C D^{2} + C N^{2}$ ；在图 $③$ 中(三角板一边与 $O C$ 重合)， $C N^{2} = B N^{2} + C D^{2}$ ，请你对这名成员在图 $①$ 和图 $③$ 中发现的结论选择其一说明理由．

(2)、类比探究：在图 $③$ 中（三角板一边与 $O C$ 重合），直接写出 $B N ， C D ， C N$ 这三条线段之间所满足的数量关系 ▲ ．
在图 $②$ 中，试探究 $B N ， C N ， C M ， D M$ 这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

(3)、拓展延伸：
将矩形 $A B C D$ 改为边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ ，直角三角板的直角顶点绕 $O$ 点旋转到图 $④$ ，两直角边与 $A B$ ， $B C$ 分别交于 $M ， N$ ，直接写出 $B N ， C N ， C M ， D M$ 这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

查看试题解析