湖南省2024年中考数学模拟试题试卷（四）

试卷更新日期：2024-06-13 类型：中考模拟

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 实数-3.33， $\sqrt{7}$ ， 0， $\sqrt[3]{64}$ ， -π， $\frac{4}{11}$ ， $0 . \overset{\cdot}{1} \overset{\cdot}{5}$ ， $(\sqrt{3} - 2)_{}^{0}$ 中，有理数的个数为a ，无理数的个数为b ，则a-b的值是（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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2. 2023年10月20日，长沙海关发布2023年前三季度湖南省外贸进出口情况，技术密集产品高速增长，劳动密集产品寻求突破。数据显示，湖南省前三季度进出口总值4622.9亿元，比上年同期下降5.5%，排名全国第15位。数据4622.9亿用科学记数法表示为（）

A、0.46229×10⁸ B、4.6229×10⁹ C、4.6229×10¹⁰ D、4.6229×10¹¹

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3. 已知等式 $3 a = 2 b + 5$ ，则下列等式中不一定成立的是（）

A、 $3 a c = 2 b c + 5$ B、 $3 a - 5 = 2 b$ C、 $a = \frac{2}{3} b + \frac{5}{3}$ D、 $3 a + 1 = 2 b + 6$

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4. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度。下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 设m＝ $3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$ ，则实数m所在的范围是（　　）

A、m＜﹣4 B、﹣4＜m＜﹣3 C、﹣3＜m＜﹣2 D、m＞﹣2

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6. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列事件是必然事件的是（）

A、校园篮球比赛，九年一班获得冠军 B、五边形外角和是360° C、掷一枚硬币时，反面朝上 D、打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，分别以 $A B 、 B C 、 C D 、 A D$ 为直径向外作半圆．若AB=3，AD=4，则阴影部分的面积是（）

A、 $12 π$ B、12 C、 $\frac{25}{2} π - 12$ D、 $\frac{25}{4} π - 12$

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9. 如图所示，有一天桥高AB为6米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（　　）（参考数据： $\sqrt{2} \approx$ 1.414， $\sqrt{3} \approx$ 1.732）

A、2.59米 B、3.07米 C、3.55米 D、4.39米

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使 $D A$ 边落在 $D C$ 边上，点 $A$ 落在点 $H$ 处，折痕为 $D E$ ；使 $C B$ 边落在 $C D$ 边上，点 $B$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $C F$ ．若矩形 $H E F G$ 与原矩形 $A B C D$ 相似， $A D = 1$ ，则 $C D$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解：3mx²﹣6mxy+3my²＝．

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12. 如图，AB是⊙O的弦，C是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，OC交AB于点D ．若AB＝16cm ， CD＝4cm ，则⊙O的半径为 cm ．

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13. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} x - a > 2 \\ x + 1 < b \end{array}$ 的解集是 $- 1 < x < 1$ ，则 $（ a + b)_{}^{2024}$ =.

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14. 某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是.

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15. 已知方程x²-mx+3＝0的一个根是1，则m的值为．

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16. 对于正数x ，规定 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ，例如： $f (2) = \frac{2 \times 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}, f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{3}, f (3) = \frac{2 \times 3}{3 + 1} = \frac{3}{2}$ ，
， f（ $\frac{1}{3}$ ） $= \frac{2 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{2}$ ，计算：f（ $\frac{1}{101}$ ）+f（ $\frac{1}{100}$ ）+f（ $\frac{1}{99}$ ）+…+f（ $\frac{1}{3}$ ）+f（ $\frac{1}{2}$ ）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝.

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： $- 1_{}^{2024} + 2 s i n 30 ° - （ - \frac{\sqrt{3}}{3} ）_{}^{0} + | \sqrt{3} - 2 |$

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18. 先化简，再求值： $（ a - \frac{a_{}^{2}}{a_{}^{2} - 1}) \div \frac{a_{}^{2}}{a_{}^{2} - 1}$ ，其中a的值从不等式组 $- \sqrt{2} < a < \sqrt{7}$ 的解集中选取一个合适的整数．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：
①作线段 $B C$ 的垂直平分线 $M N$ ，交 $A B$ 于点D ，交 $B C$ 于点O；
②在直线 $M N$ 上截取 $O E$ ，使 $O E = O D$ ，连接 $C D ， B E ， C E$ ．（保留作图痕迹）

(2)、猜想证明：作图所得的四边形 $B E C D$ 是否为菱形？并说明理由．

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20. 5月11日是“世界防治肥胖日”。世界卫生组织已确认肥胖是一种疾病，并向全世界发出忠告：肥胖病将成为全球首要的健康问题。2023年3月，世界肥胖联盟发布了2023《世界肥胖地图》，预测到2035年，全球超过40亿人属于肥胖或超重，占全球人口的51%。到2035年，中国成年人的肥胖率预计达到18%。肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（ $B o d y$ $M a s s$ $I n d e x$ ，缩写 $B M I$ ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 $B M I = \frac{体重（单位： k g ）}{身高^{2} （位置： m^{2} ）}$
例如：某人身高 $1.60 m$ ，体重 $60 k g$ ，则他的 $B M I = \frac{60}{1.6 0^{2}} \approx 23.4$ ．
中国成人的 $B M I$ 数值标准为： $B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常； $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖； $B M I \geq 28$ 为肥胖．
某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的 $B M I$ 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、请估计该公司 $200$ 名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；

(3)、基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高 $1.70 m$ ， $B M I$ 值为 $27$ ，他想通过健身减重使自己的 $B M I$ 值达到正常，则他的体重至少需要减掉 $k g$ ．（结果精确到 $1 k g$ ）

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21. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上，且 $B F = C E$ ， $A E$ 平分 $∠ C A D$ ，连接 $D F$ ，分别交 $A E$ ， $A C$ 于点 $G$ ， $M$ ， $P$ 是线段 $A G$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $P N ⊥ A C$ 垂足为 $N$ ，连接 $P M$ .

(1)、试证明：AE垂直平分DM；

(2)、求△_ADM的面积.

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22. 2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴。某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨.

(1)、若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？

(2)、求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.

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23. 将一副直角三角板 $D O E$ 与 $A O C$ 叠放在一起，如图1， $∠ O = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ E = 45 °$ ， $O D > O C$ ．在两三角板所在平面内，将三角板 $D O E$ 绕点O顺时针方向旋转 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）度到 $D_{1} O E_{1}$ 位置，使 $O D_{1} ∥ A C$ ，如图2．

(1)、求 $α$ 的值；

(2)、如图3，继续将三角板 $D O E$ 绕点O顺时针方向旋转，使点E落在 $A C$ 边上点 $E_{2}$ 处，点D落在点 $D_{2}$ 处．设 $E_{2} D_{2}$ 交 $O D_{1}$ 于点G， $O E_{1}$ 交 $A C$ 于点H，若点G是 $E_{2} D_{2}$ 的中点，试判断四边形 $O H E_{2} G$ 的形状，并说明理由．

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24. 如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上有两点 $E$ 、 $F$ ， $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E F}$ ，过点 $E$ 作直线 $C D ⊥ A F$ 交 $A F$ 的延长线于点 $D$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $C$ ，过 $C$ 作 $C M$ 平分 $∠ A C D$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，交 $B E$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $E M = E N$ ；

(3)、如果 $N$ 是 $C M$ 的中点，且 $A B = 9 \sqrt{5}$ ，求 $E N$ 的长．

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25. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如（﹣1，1），（2024，﹣2024）都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如（﹣2，-1），（2024，2012）都是“横倍点”.

(1)、求双曲线y＝ $\frac{- 9}{x}$ 上的“黎点”；

(2)、函数y=kx+b，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”P（2m，m），且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标.

(3)、若抛物线y＝ax²﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．

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