山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数 $z_{1}$ 对应的点为 $Z_{1} (1 ， 2)$ ，复数 $z_{2}$ 对应的点为 $Z_{2} (2 ， 1)$ ，则 $\vec{Z_{1} Z_{2}}$ 对应的复数为( )

A、 $3 + 3 i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $2 + 2 i$

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2. 若 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{A C} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} - 6 \vec{e_{2}}$ ，则( )

A、． $B ， C ， D$ 三点共线 B、 $A ， C ， D$ 三点共线 C、 $A ， B ， D$ 三点共线 D、 $A ， B ， C$ 三点共线

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3. $\frac{1 - t a n 75 °}{1 + t a n 75 °} =$ ( )

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 已知非零向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 方向上的投影向量长度为( )

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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5. 已知 $s i n α = \frac{3}{5}$ ， $α$ 是第二象限的角，则 $t a n \frac{α}{2} =$ ( )

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $3$

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6. 将函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的最大值为( )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 如图，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置四边形 $O A B C$ 的直观图，若 $O^{'} A^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则原四边形 $O A B C$ 的周长是( )

A、 $16$ B、 $8 + 6 \sqrt{2}$ C、 $8 + 4 \sqrt{2}$ D、 $20$

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 b c o s A + b - c = 0$ ，则 $\frac{s i n^{2} B}{s i n A}$ 的取值范围是( )

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{6} ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ D、 $(\sqrt{3} ， 1)$

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二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．

9. 下列有关平行六面体的命题正确的是( )

A、平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B、平行六面体的八个顶点在同一球面上 C、平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D、平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面

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10. 如图， $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，线段 $A D$ ， $C E$ 相交于点 $F$ ，则( )

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\vec{C E} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ C、 $\vec{B F} = \frac{1}{5} \vec{B A} + \frac{2}{5} \vec{B C}$ D、 $\vec{C F} = \frac{4}{5} \vec{C B} + \frac{1}{5} \vec{C A}$

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11. 相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆 $O$ 的半径为 $2$ ，弦 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $P$ ．且 $O P = 1$ ，则( )

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} = 3$ B、 $- 4 ≤ \vec{O B} \cdot \vec{O D} ≤ - 2$ C、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 $- 6$ D、当 $A C ⊥ B D$ 时，四边形 $A B C D$ 的面积最大值为 $7$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ），函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{3} ， 0)$ 对称，且函数 $f (x)$ 图象上相邻最高点和最低点的距离为 $4$ ，则 $φ =$ ．

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13. 已知正三角形 $A B C$ 与正方形 $E F G H$ 的中心为同一点 $O$ ， $△ A B C$ 的边长为 $6$ ，则 $| \vec{B E} + \vec{C G} | =$ ．

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14. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ ．已知点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b t a n A = (2 c - b) t a n B$ ， $b = 3$ ， $B C$ 边上的中线长为 $\frac{7}{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 3 - i$ ．

(1)、求 $| \bar{z} |$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求 $m + n$ 的值．

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16. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $A B = 3$ ， $C D = 1$ ．

(1)、若 $k \vec{A B} - \vec{A D}$ 与 $\vec{A C}$ 垂直，求 $k$ 的值；

(2)、若 $P$ 为 $A B$ 边上的动点(不包括端点），求 $(\vec{P C} + \vec{P D}) \cdot \vec{P A}$ 的最小值．

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17. 在① $\frac{2 b}{2 c - a} = \frac{1}{c o s A}$ ， ② $\frac{c o s C}{c o s B} = \frac{2 a - c}{b}$ 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知____．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $c o s A c o s C = - \frac{1}{8}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数．

(1)、记向量 $\vec{O N} = (\sqrt{3} ， 1)$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，若 $f (x) = \frac{6}{5}$ ，且 $x \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ ，求 $s i n x$ 的值；

(2)、设 $g (x) = 2 \sqrt{3} s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} + 6 c o s^{2} \frac{x}{2} - 3$ ，试求函数 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\vec{O M}$ ，并求出与 $\vec{O M}$ 方向相同的单位向量；

(3)、已知 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (3 ， 10)$ ， $\vec{O T} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 为函数 $h (x)$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点 $P$ ，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ ?若存在，求出 $P$ 点的坐标；若不存在，说明理由．

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19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 $130 m$ ，转盘直径为 $110 m$ ，设置有 $48$ 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $30 m i n$ ．

(1)、游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t m i n$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，求在转动一周的过程中， $H$ 关于 $t$ 的函数解析式；

(2)、证明： $c o s θ - c o s φ = - 2 s i n \frac{θ + φ}{2} s i n \frac{θ - φ}{2}$ ；

(3)、若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 $h$ （单位： $m$ ）关于 $t$ 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 $0.1$ ）．（参考数据： $s i n \frac{π}{48} \approx 0.065$ ）

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