广东省肇庆市香山中学2024届高三数学科五月月考试卷

试卷更新日期：2024-06-13 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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3. 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P ，且点P的纵坐标为 $\frac{1}{2}$ ，则 $s i n (\frac{π}{2} - α)$ ＝( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、－ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、－ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. $（ 1 - \frac{y}{x}) (2 x + y)_{}^{8}$ 的展开式中x²y⁶的系数为( )

A、112 B、56 C、－28 D、－336

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5. 记正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{20} = 100$ ，则 $a_{10} \cdot a_{11}$ 的最大值为（）

A、9 B、25 C、36 D、50

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6. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dm²）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 $y = c e_{}^{k x} (c > 0)$ 去拟合x与y的关系，设 $z = l n y$ ， x与z的数据如表格所示：得到x与z的线性回归方程 $\hat{z}$ ，则c=( )
x
3
4
6
7
z
2
2.5
4.5
7

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $e_{}^{- 2}$ D、 $e_{}^{- 1}$

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7. 已知直线y＝kx是曲线y＝e^x的切线，则实数k的值为( )

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $- e$ D、 $e$

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8. 已知b＞a＞0，且满足aln b＝bln a ， e为自然对数的底数，则( )

A、a^e＜e^a＜e^b B、e^b＜a^e＜e^a C、e^b＜e^a＜a^e D、e^a＜a^e＜e^b

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $\vec{a} = (2, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{10}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{10} \vec{b}$

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10. 若函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{8})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{16}$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增

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11. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + n + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + n, n 为偶数 \end{array}$ ，则( )

A、 $a_{4} = 6$ B、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n + 1)$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2}, n 为偶数 \end{array}$ D、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - a_{6} + a_{7} - a_{8} = - 20$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {y | y = 2 x, x \in A}$ ，则 $A \cup B$ 的所有元素之和为．

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13. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °, | P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则C的离心率为

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14. 在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝，现将△ABD沿BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为．

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四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c o s C}{c} = \frac{c o s A}{3 b - a}$ .

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{2}$ ，且 $c = \sqrt{6} (a - b)$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16.
在棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形. $B C = 3$ ， $C D = 1, A P = 4, C P = 2 \sqrt{6}$ .

(1)、求 $V_{P - A B C D}$ ；

(2)、求平面 $D C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值.

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17. 已知两点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，曲线 $Ω$ 上的动点 $M$ 满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 2 | F_{1} F_{2} |$ ，直线 $M F_{2}$ 与曲线 $Ω$ 交于另一点 $N$ ．

(1)、求曲线 $Ω$ 的方程；

(2)、设曲线 $Ω$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $A, B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，且 $M$ 不与 $A, B$ 重合），直线 $A M$ 与直线 $B N$ 交于点 $P$ ．当点 $B$ 为线段 $N P$ 的中点时，求点 $N$ 的横坐标．

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18. 某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，假设每次操作能否成功相互独立．

(1)、随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率．

(2)、操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x - 1, g (x) = x e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ $.$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $F （ x ） = f (x) + g (x) - x$ .
(i)证明： $F （ x ）$ 的导函数 $F^{'}$ 存在唯一零点；（ii)证明： $F （ x ） \geq 0$ .

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x	3	4	6	7
z	2	2.5	4.5	7