江西省赣州市崇义县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题-在线组卷题库

1. 下列各等式成立的是（）

A、 ${(- \sqrt{5})}^{2} = - 5$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 ${(\sqrt{3})}^{2} = 3$ D、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = \pm 2$

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2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、2，3，4 B、4，5，6 C、7，8，9 D、9，40，41

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3. 下列计算不正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = 2 + 3$

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ B D$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ．若 $▱ A B C D$ 的周长为20，则 $△ A B E$ 的周长为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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5. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， $A B$ 在数轴上，若以点A为圆心，对角线 $A C$ 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 $M$ ，则点 $M$ 表示的数为（）

A、 $\sqrt{10} - 1$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10} + 1$ D、 $2 - \sqrt{10}$

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6. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（）

A、① B、①② C、①③ D、①②③

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7. 比较大小 $4 \sqrt{3}$ $3 \sqrt{5}$ （用 $>$ ， $=$ ， $<$ 号填写）．

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8. 一个圆柱体的高为10，体积为 $10 π$ ，则它的底面半径是．

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9. 已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 5$ ， $D$ 是腰 $A B$ 上一点，且 $C D = 4$ ， $B D = 3$ ，则 $A D$ 的长为．

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10. 如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成， $A C = b ， B C = a$ ，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则 ${(a + b)}^{2}$ 的值为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 120 °$ ， $A C = B C$ ， $A B = 6 \sqrt{3}$ ，点 $N$ 是 $B C$ 边上一点，点 $M$ 为 $A B$ 边上一点，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $C N$ ， $M N$ 的中点，则 $D E$ 的最小值是．

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12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G.当△ADG为等腰三角形时，AD＝.

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13. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{12} \div 3 \sqrt{2} + {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$ ．

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14. 如图，每个小正方形的边长为1．

(1)、求四边形 $A B C D$ 的面积和各边边长．

(2)、 $∠ B C D$ 是直角吗？说明理由．

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15. 阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么这个三角形的面积S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在 $△ A B C$ 中， $a = 7$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、设 $A B$ 边上的高为 $h_{1}$ ， $A C$ 边上的高为 $h_{2}$ ，求 $h_{1} + h_{2}$ 的值．

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16. 已知，如图，E、F是平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的两点， $A E = C F$ ．求证： $E B = F D$ ；

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17. 如图，菱形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上的一点E（不与A ， B重合），请仅用无刻度的直尺画图．

(1)、在菱形 $A B C D$ 的边上找一点F ，连接 $B F$ ，使 $B F = D E$ （保留画图痕迹）；

(2)、在菱形 $A B C D$ 的边上找点F ， G ，使 $B F = B G = D E$ ，并作出等腰 $△ B F G$ ．

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18. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东 $30 °$ 方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：

(1)、A城市是否会受到台风影响？请说明理由．

(2)、若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

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19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．

(1)、求证：EF＝EB；

(2)、若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

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20. 小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值. 他是这样分析与解的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $∴ a - 2 = - \sqrt{3}, ∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a = - 1, ∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、观察上面解答过程，请写出 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求 $3 a^{2} - 18 a + 1$ 的值．

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21. 已知：在平面直角坐标系中，任意两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ，其两点之间的距离公式为 $M N = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ．如：已知 $A (1 ， 5), B (- 3 ， 6)$ ，则 $A B = \sqrt{{(- 3 - 1)}^{2} + {(6 - 5)}^{2}} = \sqrt{17}$ ．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为 $| x_{2} - x_{1} |$ 或 $| y_{2} - y_{1} |$ ．如：已知 $A (0 ， 5)$ ， $B (0 ， - 6)$ ，则 $A B = | (- 6) - 5 | = 11$ ．

(1)、若点A的坐标为 $(4 ， 6)$ ，点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ，则 $A B =$ ， $B C =$ ， AC=；

(2)、若点A的坐标为 $(3 ， 1)$ ，点B的坐标为 $(6 ， 3)$ ，点 $P$ 是x轴上的动点，求出 $A P + P B$ 的最小值；

(3)、已知一个三角形各顶点坐标为 $D (2 ， 4), E (- 2 ， 2), F (3 ， 2)$ ，请判断此三角形的形状，并说明理由．

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22. 已知，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A D$ 、 $B C$ 于点E、F ，垂足为O ．

(1)、如图1，连接 $A F$ 、 $C E$ ．求 $A F$ 的长；

(2)、如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿 $△ A F B$ 和 $△ C D E$ 各边匀速运动一周．即点P自 $A \to F \to B \to A$ 停止，点Q自 $C \to D \to E \to C$ 停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒 $5 c m$ ，点Q的速度为每秒 $4 c m$ ，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位： $c m$ ， $a b \neq 0$ ），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

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23. 问题背景：我们已经学过平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．在我们身边还有一种特殊的四边形——等邻边四边形，即：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

(1)、如图1，四边形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 B 、 C$ 在网格格点上，请你在 $5 \times 7$ 的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形 $A B C D$ 要求顶点 $D$ 在网格格点上．

(2)、如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 上一点， $F$ 是 $D E$ 上一点， $A D = D E$ ， $∠ A F E = ∠ B$ ，请说明四边形 $A B E F$ 是“等邻边四边形”；

(3)、如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $A B = 3$ ， $B E = 1$ ， $F$ 是线段 $D E$ 上一点，当四边形 $A B E F$ 是“等邻边四边形”时，请直接写出 $D F$ 的长度．

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江西省赣州市崇义县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

六、解答题（本大题共12分）