安徽省合肥市长丰县2023-2024学年七年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1. 下列各数中，最小的是（）

A、 $- 2$ B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \sqrt{5}$

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2. 已知某病毒的直径在840纳米至1000纳米之间，840纳米 $= 0.00000084$ 米，数据0.00000084用科学记数法表示正确的是（）

A、 $8.4 \times 1 0^{7}$ B、 $8.4 \times 1 0^{6}$ C、 $8.4 \times 1 0^{- 7}$ D、 $8.4 \times 1 0^{- 6}$

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3. 两个连续的正整数，前一个数的算术平方根是a ，则后一个数的算术平方根是（）

A、 $a + 1$ B、 $a^{2} + 1$ C、 $\sqrt{a + 1}$ D、 $\sqrt{a^{2} + 1}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ D、 $3 a^{2} \div a^{2} = 3 a$

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5. 下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）

A、 $(- x + y) (- x - y)$ B、 $(- y - x) (- x - y)$ C、 $(2 a - x) (2 a + x)$ D、 $(- x + 2 y) (- x - 2 y)$

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6. 如图，面积为3的正方形 $A B C D$ 的顶点A在数轴上，以点A为圆心， $A B$ 的长为半径画弧交数轴于点E ，若点E表示的数为2，则点A表示的数是（）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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7. 若 $x^{2} + 6 x + m^{2}$ 是完全平方式，则m的值是（）

A、3 B、 $- 9$ C、 $\pm 3$ D、9

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8. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到 $10 m$ 以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为 $0.02 m / s$ ，人离开的速度为 $4 m / s$ ，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（）

A、 $4 \times \frac{x}{0.02} > 10$ B、 $\frac{x}{0.02} > \frac{4}{10}$ C、 $4 \times \frac{x}{0.02} < 10$ D、 $\frac{x}{0.02} < \frac{4}{10}$

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9. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - m}{2} < 1, \\ x - 4 \leq 3 (x - 2) \end{array}$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $m > - 1$ B、 $m \geq - 1$ C、 $m < - 1$ D、 $m \leq - 1$

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10. 已知三个实数a ， b ， c满足 $a - 2 b - c = 0$ ， $a + 2 b - c < 0$ ，则（）

A、 $b < 0$ ， $b^{2} + a c \leq 0$ B、 $b < 0$ ， $b^{2} + a c \geq 0$ C、 $b > 0$ ， $b^{2} + a c \leq 0$ D、 $b > 0$ ， $b^{2} + a c \geq 0$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是.

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12. 若 $a > 2$ ，则关于x的不等式 $(2 - a) x > a - 2$ 的解集为．

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13. 已知 $2 x - 5 y + 4 = 0$ ，则 $4^{x + 1} \cdot 3 2^{1 - y}$ 的值是．

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14. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．
①比较大小： $S_{1}$ $S_{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）
②若满足条件 $3 < n < | S_{2} - S_{1} |$ 的整数n有且只有4个，则m的值为

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0} + \sqrt[3]{- 8}$ ．

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16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 < 2 (x + 2) ①, \\ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{2 x - 1}{3} ②, \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 已知 $x - 2$ 的平方根是它本身， $4 y - 6$ 的立方根是 $- 2$ ，求 $x^{2023} y^{2024}$ 的值．

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18. 先化简，再求值： $(4 a b^{3} - 8 a^{2} b^{2}) \div (- 4 a b) - 2 (a + b) (a - b) + 3 a^{2}$ ，其中 $(a - 2)^{2} + \sqrt{b + 3} = 0$ ．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 已知关于x的方程 $3 x + a x = 14$ 的解是不等式 $\frac{x - 2}{3} + 1 > 2 - \frac{x + 1}{2}$ 的最小整数解，求a的算术平方根．

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20. 观察下列等式：
第1个等式： $3^{2} - 4 \times 1^{2} = 5$ ；第2个等式： $5^{2} - 4 \times 2^{2} = 9$ ；
第3个等式： $7^{2} - 4 \times 3^{2} = 13$ ；第4个等式： $9^{2} - 4 \times 4^{2} = 17$ ；……
根据上述规律解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式： ▲ ；（用含 $n$ 的式子表示），并证明其正确性．

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六、（本题满分12分）

21. 定义新运算“ $\oplus$ ”如下：当 $m \geq n$ 时， $m \oplus n = m n + n$ ；当 $m < n$ 时， $m \oplus n = m n - n$ ．

(1)、求 $- \sqrt{2} \oplus (- 1)$ 的值．

(2)、若 $4 \oplus (x + 3) > 0$ ，求x的取值范围．

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七、（本题满分12分）

22. 某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A ， B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨．

(1)、分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力．

(2)、根据实际情况，该乡镇需购买A ， B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．

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八、（本题满分14分）

23. 如图，将一个边长为 $(a + b)$ 的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请仔细观察图形，解答下列问题．

(1)、本图所揭示的乘法公式是（用含a ， b的代数式表示出来）．

(2)、若图中的a ， $b (a > b)$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 42$ ， $a b = 3$ ，求 $a - b$ 的值．

(3)、已知 $(x - 2022)^{2} + (2024 - x)^{2} = 10$ ，求 $(x - 2022) (2024 - x)$ 的值．

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