安徽省合肥市智育联盟2023-2024学年七年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-06-13 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分）

1. 实数 $\frac{22}{7}$ 、 $- \sqrt{2}$ 、π、1732、 $\sqrt[3]{5}$ 、 $0 . \overset{\cdot}{3}$ ……中无理数的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $a^{2} b^{3} = {(a b)}^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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3. 16的算术平方根是（）

A、±4 B、±8 C、4 D、8

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4. 若 $m = \sqrt{27}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $3 < m < 4$ B、 $4 < m < 5$ C、 $5 < m < 6$ D、 $6 < m < 7$

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5. 已知不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组为（）

A、 ${\begin{cases} x < 2 \\ x \leq 3 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x < 2 \\ x \geq 3 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x > 2 \\ x \leq 3 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x > 2 \\ x \geq 3 \end{cases}$

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6. 下列不能用平方差公式计算的是（　　）

A、 $(x + y) (x - y)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(- x + y) (- x - y)$ D、 $(- x + y) (x + y)$

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7. 若 $x < y$ ， a为任意实数，则下列结论正确的是（）

A、 $- a x > - a y$ B、 $a^{2} x < a^{2} y$ C、 $a - x < a - y$ D、 $a + x < a + y$

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8. 实数a在数轴上的位置如图所示，则a、 $\frac{1}{a}$ 、 $a^{2}$ 的大小关系是（）

A、 $a < \frac{1}{2} < a^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < a < a^{2}$ C、 $a < a^{2} < \frac{1}{a}$ D、 $\frac{1}{a} < a^{2} < a$

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9. 如图所示，数轴上表示2， $\sqrt{5}$ 的对应点分别为C ， B ，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $4 - \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH ， FH ．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（）

A、19 B、28 C、27 D、21

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二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分）

11. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为．

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12. 比较大小： $- 5$ $- 3$ ．

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13. 如果 $(3 m + 2) (3 m - 2) = 77$ ，那么m的值为．

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14. 若 $2^{m} = 3$ ， $2^{2 n} = 5$ ，则 $2^{3 m + 2 n} =$ ．

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15. 如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是．

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三、解答题

16. 计算： $\sqrt{(- 3)^{2}} + \sqrt[3]{- 64} \times (- \sqrt{\frac{1}{4}})$ ．

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x - 1}{3} < x + 1 \\ 2 (1 - x) + 4 \geq 0 \end{array}$ ．

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18. 先化简，再求值： ${(2 x - 3)}^{2} - (x + 2 y) (x - 2 y) - 4 y^{2}$ ，其中 $x = 2$ ， $y = 1$ ．

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19. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x + y = - 7 - m \\ x - y = 1 + 3 m \end{array}$ 的解满足 $x$ 为非正数， $y$ 为负数．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、在 $m$ 的取值范围内，当 $m$ 为何整数时，不等式 $2 m x + x < 2 m + 1$ 的解为 $x > 1$ ．

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20. 我们知道 $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，于是我们说：“ $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，小数部分则可记为 $\sqrt{2} - 1$ ”．则：

(1)、 $\sqrt{2} + 1$ 的整数部分是， $\sqrt{2} + 1$ 的小数部分可以表示为；

(2)、已知 $\sqrt{3} + 2$ 的小数部分是a ， $7 - \sqrt{3}$ 的小数部分为b ．求 $a + b$ 的值．

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21. 材料阅读：若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a ， b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为 $13 = 3^{2} + 2^{2}$ ，所以13是“完美数”；再如：因为 $a^{2} + 2 a b + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2} + b^{2}$
（a ， b是整数），所以 $a^{2} + 2 a b + 2 b^{2}$ 是“完美数”．根据上面的材料，解决下列问题：

(1)、请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是．

(2)、试判断 $(x + 3 y) (x + 5 y) + 2 y^{2}$ （x ， y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．

(3)、已知 $M = x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 12 y + k$ （x ， y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出一个符合条件的k值，并说明理由．

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22. 某单位准备购买文化用品m件，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．

(1)、当 $m = 30$ 时，在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元；

(2)、若 $m > 40$ 时，你认为选择哪家超市支付的费用较少？

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23. 已知 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如： $[5.7] = 5$ ， $[- π] = - 4$ ．若 $3 x - 6 [x] = 10$ ，则 $x =$ ．

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