浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-12 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{3} (x + 2) > 1}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B)$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) (1 - 2 i) = 5 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (m, - 1)$ ，若 $3 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $| \vec{a} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、6

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，则“ ${a_{n}}$ 为等比数列”是“ $a_{m} \cdot a_{n} = a_{m + n}$ （ $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ）”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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5. 在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（）

A、11 B、13 C、15 D、17

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6. 若 $s i n (α - β) + c o s (α - β) = 2 \sqrt{2} s i n (α - \frac{π}{4}) s i n β$ ，则（）

A、 $t a n (α - β) = - 1$ B、 $t a n (α - β) = 1$ C、 $t a n (α + β) = - 1$ D、 $t a n (α + β) = 1$

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7. 如图，假定两点 $P$ ， $Q$ 以相同的初速度运动.点 $Q$ 沿直线 $C D$ 作匀速运动， $C Q = x$ ；点 $P$ 沿线段 $A B$ （长度为 $1 0^{7}$ 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（ $P B = y$ ）.令 $P$ 与 $Q$ 同时分别从 $A$ ， $C$ 出发，定义 $x$ 为 $y$ 的纳皮尔对数，用现在的数学符号来叙述， $x$ 与 $y$ 的对应关系就是 $y = 1 0^{7} \cdot {(\frac{1}{e})}^{\frac{x}{1 0^{7}}}$ （ $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ），当点 $P$ 从线段 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点移动到靠近 $B$ 的三等分点，经过的时间为（）

A、 $l n 2$ B、 $l n 3$ C、 $l n \frac{3}{2}$ D、 $l n \frac{4}{3}$

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8. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点为 $F$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 2 \sqrt{7} a$ ， $∠ A F B = 120 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{s i n x} + \frac{1}{c o s x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $T = π$ B、 $f (x)$ 的图像关于 $(π, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递减 D、当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x) \geq 2 \sqrt{2}$

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10. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是一个随机试验中的三个事件，且 $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 不相互独立 B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $A$ 与 $B$ 不互斥 C、若 $P (A | B) \cdot P (B | A) = P (A B)$ ，且 $P (A B) \neq 0$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $P (A B C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两独立

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A D} + μ \vec{A A_{1}}$ ，其中 $λ \in R$ ， $μ \in R$ ，则（）

A、当 $λ = μ$ 时，则 $C_{1} P + P D$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ B、过点 $P$ 在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内一定可以作无数条直线与 $C P$ 垂直 C、若 $C_{1} P$ 与 $A D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线 D、当 $λ = 1$ ， $μ \in [0, 1]$ 时，正方体经过点 $A$ 、 $P$ 、 $C_{1}$ 的截面面积的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中 $x$ 的系数为.

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13. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ ，过圆 $C_{2}$ 上一动点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的切线，交圆 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ A O B$ （点 $O$ 为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为.（写出一条即可）

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14. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + l n x$ ， $g (x) = a x + b$ ，对任意 $a \in (- \infty, 1]$ ，存在 $x \in (0, 1)$ 使得不等式 $f (x) \geq g (x)$ 成立，则满足条件的 $b$ 的最大整数为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在直角坐标平面内有线段 $A_{1} A_{2}$ ，已知点 $A_{3}$ 是线段 $A_{1} A_{2}$ 上靠近 $A_{2}$ 的三等分点，点 $A_{4}$ 是线段 $A_{2} A_{3}$ 上靠近 $A_{3}$ 的三等分点，……，点 $A_{n + 1}$ 是线段 $A_{n - 1} A_{n}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）上靠近 $A_{n}$ 的三等分点，设点 $A_{n}$ 的横坐标为 $a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 5$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = \frac{1}{2} A B = 2$ ， $P C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 、 $F$ 分别为直线 $D C$ ， $D P$ 上的动点.

(1)、若异面直线 $A D$ 与 $P C$ 所成的角为45°，判断 $P B$ 与 $A D$ 是否具有垂直关系并说明理由；

(2)、若 $P B = P A = 2 \sqrt{2}$ ， $E F / / P C$ ，求直线 $A C$ 与平面 $B E F$ 所成角的最大值.

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17. 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.

(1)、若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；

(2)、若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (1, 0)$ ， $F_{1} (- \sqrt{5}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5}, 0)$ ， $P$ 为动点，满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $T (3, - 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于两点 $M$ ， $N$ ，连接 $A M$ ， $A N$ .
（ⅰ）记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $2 k_{1} k_{2} + k_{1} + k_{2}$ 为定值；
（ⅱ）直线 $A M$ ， $A N$ 与直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 分别交于 $B$ ， $C$ 两点，求 $| B C |$ 的最小值.

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19. 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用 $μ (n)$ 作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数 $n$ 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式： $n = p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{r_{k}}$ （ $k$ 为 $n$ 的质因数个数， $p_{i}$ 为质数， $r_{i} \geq 1$ ， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k$ ），例如： $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ，对应 $k = 3$ ， $p_{1} = 2$ ， $p_{2} = 3$ ， $p_{3} = 5$ ， $r_{1} = 2$ ， $r_{2} = 1$ ， $r_{3} = 1$ .现对任意 $n \in N^{*}$ ，定义莫比乌斯函数 $μ (n) = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ {(- 1)}^{k}, r_{1} = r_{2} = \cdot \cdot \cdot = r_{k} = 1 \\ 0, 存在 r_{i} > 1 \end{array}$ .

(1)、求 $μ (68)$ ， $μ (985)$ ；

(2)、已知 $n > 1$ ，记 $n = p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{r_{k}}$ （ $k$ 为 $n$ 的质因数个数， $p_{i}$ 为质数， $r_{i} \geq 1$ ， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k$ ）的所有因数从小到大依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ .
（ⅰ）证明： $| μ (a_{1}) | + | μ (a_{2}) | + \cdot \cdot \cdot + | μ (a_{m}) | = 2^{k}$ ；
（ⅱ）求 $\frac{μ (a_{1})}{a_{1}} + \frac{μ (a_{2})}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{μ (a_{m})}{a_{m}}$ 的值（用 $P_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k$ ）表示）.

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