浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题

试卷更新日期：2024-06-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = y$ ，则其焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、4

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2. 若关于 $x$ 的不等式 $| x^{2} + m x + n | > 0$ 的解集为 ${x | x \neq 1 且 x \neq 2}$ ，则（）

A、 $m = 3$ ， $n = 2$ B、 $m = - 3$ ， $n = 2$ C、 $m = 3$ ， $n = - 2$ D、 $m = - 3$ ， $n = - 2$

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3. 有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）

A、第75百分位数 B、平均数 C、极差 D、众数

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4. 在 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + a) (x + b)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 项的系数是10，则 $l o g_{2} (a + b) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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5. 若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $2 \vec{b}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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6. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m \neq 4)$ 的焦点，则下列说法错误的是（）

A、若 $m = 1$ ，则曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、若 $m = - 1$ ，则曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、若曲线 $C$ 上恰有两个不同的点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $m = 2$ D、若 $m < 0$ ，则曲线 $C$ 上存在四个不同的点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足：对任意实数 $x$ ， $y$ ，都有 $f (f (x + y)) = f (x) + f (y)$ 成立，且 $f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (x + 1)$ 为奇函数 B、 $f (x) + 1$ 为奇函数 C、 $| f (x + 1) |$ 为偶函数 D、 $| f (x - 1) |$ 为偶函数

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8. 设 $0 \leq a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{99} < a_{100} \leq 1$ ，已知 $a_{n + 1} \geq 3 a_{n} (1 \leq n \leq 99)$ ，若 $m a x {a_{n + 1} - a_{n}} \geq m$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m \leq \frac{1}{9}$ B、 $m \leq \frac{1}{3}$ C、 $m \leq \frac{2}{3}$ D、 $m \leq \frac{4}{9}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 若 $\frac{s i n x + c o s x}{2 s i n x - c o s x} = 1$ ，则（）

A、 $t a n x = 2$ B、 $s i n x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $t a n 2 x = \frac{4}{5}$ D、 $s i n 2 x = \frac{4}{5}$

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10. 已知 $M$ ， $N$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，点 $P (- 1, 1)$ ，且 $P M ⊥ P N$ ，则（）

A、 ${| P M |}_{m a x} = 2 + \sqrt{2}$ B、 ${| M N |}_{m a x} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ C、 $△ P M N$ 外接圆圆心的轨迹方程为 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{2}$ D、 $△ P M N$ 重心的轨迹方程为 ${(x + \frac{5}{6})}^{2} + {(y - \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a$ 的值可以取 $\frac{1}{4}$ B、 $a$ 的值可以取 $\frac{1}{2}$ C、 $| x_{1} - x_{2} |$ 的值关于 $a$ 单调递减 D、 $f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2}) > 0$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 若复数 $z$ 满足： $\frac{z}{i} + \bar{z} \cdot i = 2$ ，则复数 $z$ 的虚部为．

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13. 记 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，已知 $T_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ ，则 $a_{1} =$ ； $T_{2024} =$ ．

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14. 若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体 $P_{1} A B C$ ， $P_{2} A B D$ ， $P_{3} A C D$ ，则 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 外接圆的半径是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n π x + c o s π x (x \in R)$ 的所有正零点构成递增数列 ${a_{n}} (n \in N *)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期和最大值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $\vec{A O} = 2 \vec{O E}$ ．

(1)、求证： $O$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球的球心；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $∠ B C D = 60 °$ ， $\vec{B G} = λ \vec{B D}$ ，求平面 $A E G$ 与平面 $A C D$ 所成锐二面角的余弦值最大时 $λ$ 的值．

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17. 已知双曲线 $Γ$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与直线 $l$ ： $y = x + 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 左侧），过点 $A$ 的两条关于 $l$ 对称的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交双曲线 $Γ$ 于 $C$ 、 $D$ 两点（ $C$ 在右支， $D$ 在左支）．

(1)、设直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $l_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、若直线 $C D$ 与双曲线 $Γ$ 在点 $B$ 处的切线交于点 $P$ ，求 $△ A B P$ 的面积．

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18. 如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥 $S - A B C D$ ，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点 $S$ 出发，再次回到顶点 $S$ 时停止爬行。

(1)、求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 $S$ 的概率；

(2)、在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及其数学期望 $E (ξ)$ ；

(3)、设电子蛐蛐爬行 $n (n \geq 2)$ 米后恰好停止爬行（首次回到顶点 $S$ ）的概率记为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ （用 $n$ 表示）。

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19. 若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，且 $\forall x \in I$ ， $f (x) \in I$ ，则称 $I$ 是 $f (x)$ 的一个“封闭区间”．

(1)、已知函数 $f (x) = x + s i n x$ ，区间 $I = [0, r] (r > 0)$ 且 $f (x)$ 的一个“封闭区间”，求 $r$ 的取值集合；

(2)、已知函数 $g (x) = l n (x + 1) + \frac{3}{4} x^{3}$ ，设集合 $P = {x | g (x) = x}$ ．
（i）求集合 $P$ 中元素的个数；
（ii）用 $b - a$ 表示区间 $[a, b] (a < b)$ 的长度，设 $m$ 为集合 $P$ 中的最大元素．
证明：存在唯一长度为 $m$ 的闭区间 $D$ ，使得 $D$ 是 $g (x)$ 的一个“封闭区间”．

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