重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期数学第三次模拟预测试

试卷更新日期：2024-06-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $m, n$ 表示空间中两条不同的直线， $α$ 表示一个平面，且 $m$ ∥ $α$ ，则“ $n ⊥ α$ ”是“ $m ⊥ n$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z (2 + i)$ 的实部、虚部分别为3，2，则 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）

A、 $2^{15} + 2$ B、 $2^{16} - 2$ C、 $2^{17}$ D、 $2^{18}$

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4. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $A B = A C = 1$ ．若球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，则这个三棱柱的表面积是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{3}$

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5. 设 $l$ 为某正方体的一条体对角线， $S$ 为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从 $S$ 中任选两点连成线段，则与 $l$ 垂直的线段数目是（）

A、12 B、21 C、27 D、33

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6. 设A，B，C，D为抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称， $B C$ 平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线 $A B$ 和直线 $A C$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，已知 $d_{1} + d_{2} = \sqrt{3} | A D |$ .则 $s i n ∠ B A C =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 设函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x + l n x$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、2 D、e

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8. 已知 $a = l n 3$ ， $b = \frac{5}{4}$ ， $c = e^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. 某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、a＝0.028 B、在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人 C、估计短视频观众的平均年龄为32岁 D、估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

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10. 如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）

A、当 $x = 2 m$ 时，正四棱锥的侧面积为 $4 \sqrt{3} m^{2}$ B、当 $x = 2 m$ 时，正四棱锥的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} m^{3}$ C、当 $x = 2 \sqrt{3} m$ 时，正四棱锥外接球的体积为 $\frac{343 π}{6} m^{3}$ D、正四棱锥的体积最大值为 $\frac{64}{27} \sqrt{3} m^{3}$

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11. 已知 $A (0, \sqrt{2}), B (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹围成的图形面积为 $π$ B、 $| P B |$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $P_{1}, P_{2}$ 是 $P$ 的任意两个位置点，则 $∠ P_{1} A P_{2} \leq \frac{π}{3}$ D、过点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的直线与点 $P$ 的轨迹交于点 $M, N$ ，则 $M N$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 3 \sqrt{2}, | \vec{b} | = 6$ ，则 $f (x) = | x \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} | + | x \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} | (x \in R)$ 的最小值为.

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13. 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f (x) = c o s 2 x - a s i n x$ 在 $(0, n π)$ 内恰有2024个零点，则满足条件的正整数 $n$ 的值有个．

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14. 设 $a, b, c > 0$ ，则 $\frac{a + 2 \sqrt{a b} + 4 \sqrt{a c}}{a + b + 4 c}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = 2 a x - l n x + \frac{1}{x}$ ， $a \neq 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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16. 在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据： $\frac{186}{365} \approx 0.5$ ）

(1)、根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率 $p$ ；

(2)、据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；
参考公式和数据如下： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.005
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
7.879

(3)、从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出 $P (X = k)$ 的表达式（其中 $0 \leq k \leq 10$ ， $k \in N$ ），并求出X的数学期望.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长为4．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、O为坐标原点，过点 $G (3, 0)$ 且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得 $∠ E T O = ∠ F T G$ ．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 分别是侧棱 $P A, P B, P C$ 的中点， $A B ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、如果 $A_{1} C = B_{1} C, A B = B C = 4$ ，且三棱锥 $B_{1} - A_{1} B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求二面角 $A_{1} - B B_{1} - C$ 的余弦值.

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19. 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数” $2^{2^{n}} + 1 (n \in N)$ ；还有“欧拉质数多项式”： $n^{2} + n + 41 (n \in N)$ .但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数 $\frac{2}{3}$ 的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据 $\frac{38}{57}$ .这个过程叫加密，逆过程叫解密.

(1)、数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 经DZB数据加密协议加密后依次变为 $- \frac{51}{34}, \frac{1285}{1542}, - \frac{458759}{786444}$ .求经解密还原的数据 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的数值；

(2)、依据 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的数值写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ ；

(3)、为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数 $f (x) = x^{2} + x - 1, α, β$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个根 $(α > β), f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数.设 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f (a_{n})}{f^{'} (a_{n})} (n = 1, 2, ⋯)$ .证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n} > α$ .（本小题数列 ${a_{n}}$ 不同于第（1）（2）小题）

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	7.879