【高考真题】2024年北京市高考数学卷

试卷更新日期：2024-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合 $M = {x | - 4 < x \leq 1}$ ， $N = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | - 4 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 4}$

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2. 已知 $\frac{z}{i} = i - 1$ ，则 $z =$ （）．

A、 $1 - i$ B、 $- i$ C、 $- 1 - i$ D、1

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3. 求圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y = 0$ 的圆心到 $x - y + 2 = 0$ 的距离（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. ${(x - \sqrt{x})}^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、15 B、6 C、 $- 4$ D、 $- 13$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $(\vec{a} + \vec{b}) · (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ ”的（）条件．

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ ， $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ， $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 记水的质量为 $d = \frac{S - 1}{l n n}$ ，并且d越大，水质量越好．若S不变，且 $d_{1} = 2.1$ ， $d_{2} = 2.2$ ，则 $n_{1}$ 与 $n_{2}$ 的关系为（）

A、 $n_{1} < n_{2}$ B、 $n_{1} > n_{2}$ C、若 $S < 1$ ，则 $n_{1} < n_{2}$ ；若 $S > 1$ ，则 $n_{1} > n_{2}$ ； D、若 $S < 1$ ，则 $n_{1} > n_{2}$ ；若 $S > 1$ ，则 $n_{1} < n_{2}$ ；

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8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， $2 \sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 已知 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = 2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A、 $l o g_{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ B、 $l o g_{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ C、 $l o g_{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > x_{1} + x_{2}$ D、 $l o g_{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < x_{1} + x_{2}$

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10. 若集合 ${(x, y) | y = x + t (x^{2} - x), 0 \leq t \leq 1, 1 \leq x \leq 2}$ 表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S ，则（）

A、 $d = 3$ ， $S < 1$ B、 $d = 3$ ， $S > 1$ C、 $d = \sqrt{10}$ ， $S < 1$ D、 $d = \sqrt{10}$ ， $S > 1$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知抛物线 $y^{2} = 16 x$ ，则焦点坐标为．

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12. 已知 $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，且α与β的终边关于原点对称，则 $c o s β$ 的最大值为．

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13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ，则过 $(3, 0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．

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14. 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为．

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15. 已知 $M = {k | a_{k} = b_{k}}$ ， {a_n}，{b_n} 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.
① {a_n}，{b_n} 均为等差数列，则M中最多一个元素；
② {a_n}，{b_n} 均为等比数列，则M中最多三个元素；
③ {a_n} 为等差数列， {b_n} 为等比数列，则M中最多三个元素；
④ {a_n}单调递增， {b_n} 单调递减，则M中最多一个元素

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 在△ABC中， $a = 7$ ， A为钝角， $s i n 2 B = \frac{\sqrt{3}}{7} b c o s B$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
① $b = 7$ ；② $c o s B = \frac{13}{14}$ ；③ $c s i n A = \frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．

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17. 已知四棱锥P-ABCD ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $D E = P E = 2$ ， E是 $A D$ 上一点， $P E ⊥ A D$ ．

(1)、若F是PE中点，证明： $B F / /$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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18. 已知某险种的保费为 $0.4$ 万元，前3次出险每次赔付 $0.8$ 万元，第4次赔付 $0.6$ 万元
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
$800$
$100$
$60$
$30$
$10$
在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)、求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)、（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 %$ ，已赔偿过的增加 $20 %$ ．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．

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19. 已知椭圆方程C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $(0, t)$ $(t > \sqrt{2})$ 的直线l与椭圆交于A ， B ， $C (0, 1)$ ，连接AC交椭圆于D ．

(1)、求椭圆方程和离心率；

(2)、若直线BD的斜率为0，求t ．

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20. 已知 $f (x) = x + k l n (1 + x)$ 在 $(t, f (t)) (t > 0)$ 处切线为l ．

(1)、若切线l的斜率 $k = - 1$ ，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、证明：切线l不经过 $(0, 0)$ ；

(3)、已知 $k = 1$ ， $A (t, f (t))$ ， $C (0, f (t))$ ， $O (0, 0)$ ，其中 $t > 0$ ，切线l与y轴交于点B时．当 $2 S_{△ A C O} = 15 S_{△ A B O}$ ，符合条件的A的个数为？
（参考数据： $1.09 < l n 3 < 1.10$ ， $1.60 < l n 5 < 1.61$ ， $1.94 < l n 7 < 1.95$ ）

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21. 设集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，2|（i+j+s+t）}．对于给定有穷数列A：{a_n}（1≤n≤8），及序列Ω：ω₁ ， ω₂ ， …，ω_s ， ω_k=（i_k ， j_k ， s_k ， t_k）∈M，定义变换T：将数列A的第i₁ ， j₁ ， s₁ ， t₁项加1，得到数列T₁（A）；将数列T₁（A）的第i₂ ， j₂ ， s₂ ， t₂项加1，得到数列T₂T₁（A）…；重复上述操作，得到数列T_s⋯T₂T₁（A），记为Ω（A）．

(1)、给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；

(2)、是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a₁+2，a₂+6，a₃+4，a₄+2，a₅+8，a₆+2，a+4，a₈+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；

(3)、若数列A的各项均为正整数，且a₁+a₃+a₅+a₇为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω（A）为常数列”的充要条件为“a₁+a₂=a₃+a₄=a₅+a₆=a₇+a₈”．

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赔偿次数	0	1	2	3	4
单数	$800$	$100$	$60$	$30$	$10$