【高考真题】2024年天津市高考数学卷

试卷更新日期：2024-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 集合 $A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2, 3, 4}$ B、 ${2, 3, 4}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${1}$

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2. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = b^{3}$ ”是“ $3^{a} = 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列图中，相关性系数最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列函数是偶函数的是（）

A、 $\frac{e^{x} - x^{2}}{x^{2} + 1}$ B、 $\frac{c o s x + x^{2}}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{e^{x} - x}{x + 1}$ D、 $\frac{s i n x + 4 x}{e^{| x |}}$

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5. 若 $a = 4 . 2^{- 0.3}, b = 4 . 2^{0.3}, c = l o g_{4.2} 0.2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、a>b>c B、b>a>c C、c>a>b D、b>c>a

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6. 若a，b为两条直线， $m$ 为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a / / m ， b \subset m$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / m, b / / m$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / m, b ⊥ m$ ，则 $a ⊥ b$ D、若 $a / / m, b ⊥ m$ ，则 $a$ 与 $b$ 相交

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7. 已知函数 $f (x) = s i n 3 (ω x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期为 $π$ .则函数在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、0 D、 $\frac{3}{2}$

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2} . P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $2 . △ P F_{1} F_{2}$ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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9. 一个五面体 $A B C - D E F$ .已知 $A D / / B E / / C F$ ，且两两之间距离为1.并已知 $A D = 1, B E =$ $2, C F = 3$ .则该五面体的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$

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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.

10. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $(\sqrt{5} - i) \cdot (\sqrt{5} + 2 i) =$ .

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11. 在 ${(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.

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12. $(x - 1)^{2} + y^{2} = 25$ 的圆心与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合， $A$ 为两曲线的交点，求原点到直线AF的距离.

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13. A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为；已知乙选了 $A$ 活动，他再选择 $B$ 活动的概率为.

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14. 在正方形ABCD中，边长为1.E为线段CD的三等分点， $C E = \frac{1}{2} D E, \vec{B F} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ ；F为线段BE上的动点， $G$ 为AF中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D G}$ 的最小值为.

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15. 若函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} - a x} - | a x - 2 | + 1$ 有零点，则 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. 在 $△ A B C$ 中， $c o s B = \frac{9}{16}, b = 5, \frac{a}{c} = \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $s i n A$ ；

(3)、求 $c o s (B - 2 A)$ .

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17. 已知四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA₁=2，AD=DC=1．N是B₁C₁的中点，M是DD₁的中点．

(1)、求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；

(3)、求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$ .左顶点为 $A$ ，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆方程.

(2)、过点 $(0, - \frac{3}{2})$ 的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q} \leq 0$ .若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列.其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{1} = 1, S_{2} = a_{3} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} k & ; n = a_{k} \\ b_{n - 1} + 2 k & ; a_{k} < n < a_{k + 1} \end{array}$ 其中 $k$ 是大于1的正整数.
(i)当 $n = a_{k + 1}$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
(ii)求 $\sum_{i = 1}^{S_{n}} b_{i}$ .

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20. 设函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 图像上点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq a (x - \sqrt{x})$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$ 证明 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq {| x_{1} - x_{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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