【高考真题】2024年数学新课标Ⅱ卷

试卷更新日期：2024-06-11 类型：高考真卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知 $z = - 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）．

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 已知命题 $p : \forall x \in R, | x + 1 | > 1$ ；命题 $q : \exists x > 0, x^{3} = x$ ．则（）．

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 C、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ．则 $| \vec{b} | =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：
亩产量
[900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（）.

A、100块稻田亩产量的中位数小于 $1050 k g$ B、100块稻田中亩产量低于 $1100 k g$ 的稻田所占比例超过 $40 %$ C、100块稻田亩产量的极差介于 $200 k g$ 至 $300 k g$ 之间 D、100块稻田亩产量的平均值介于 $900 k g$ 至 $1000 k g$

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5. 已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 16 (y > 0)$ ，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{^{'}}, P^{^{'}}$ 为垂足，则线段 $P P^{^{'}}$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（）.

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y > 0)$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (y > 0)$ C、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1 (y > 0)$ D、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{8} = 1 (y > 0)$

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6. 设函数 $f (x) = a (x + 1)^{2} - 1, g (x) = c o s x + 2 a x$ （ $a$ 为常数），当 $x \in (- 1, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有一个交点，则 $a =$ （）．

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B = 6, A_{1} B_{1} = 2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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8. 设函数 $f (x) = (x + a) l n (x + b)$ ，若 $f (x) ⩾ 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分．

9. 对于函数 $f (x) = s i n 2 x$ 和 $g (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ ，下列正确的有（）．

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最大值 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小正周期 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像有相同的对称轴

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10. 抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ， P为 $C$ 上动点，过 $P$ 作 $⊙ A : x^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 的一条切线， $Q$ 为切点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ．则（）．

A、 $l$ 与 $⊙ A$ 相切 B、当P，A，B三点共线时， $| P Q | = \sqrt{15}$ C、当 $| P B | = 2$ 时， $P A ⊥ A B$ D、满足 $| P A | = | P B |$ 的点P有且仅有2个

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11. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则（）．

A、当 $a > 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点 B、当 $a < 0$ 时， $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点 C、存在a，b，使得 $x = b$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、存在 $a$ ，使得点 $(1, f (1))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7, 3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $S_{10} =$ .

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13. 已知 $α$ 为第一象限角， $β$ 为第三象限角， $t a n α + t a n β = 4, t a n α t a n β = \sqrt{2} + 1$ ，则 $s i n (α + β) =$ ．

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14. 在下图的 $4 \times 4$ 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $s i n A + \sqrt{3} c o s A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ．

(2)、若 $a = 2, \sqrt{2} b s i n C = c s i n 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - a^{3}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于0，求 $a$ 的取值范围．

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17. 如图，平面四边形ABCD中， $A B = 8, C D = 3, A D = 5 \sqrt{3}, ∠ A D C = 9 0^{°}, ∠ B A D = 3 0^{°}$ ，点E，F满足 $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A D}, \vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ．将 $△ A E F$ 沿EF翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P C = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $E F ⊥ P D$ ．

(2)、求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

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18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．

(1)、若 $p = 0.4, q = 0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

(2)、假设 $0 < p < q$ ．
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?

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19. 已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = m (m > 0)$ ，点 $P_{1} (5, 4)$ 在 $C$ 上， $k$ 为常数， $0 < k < 1$ ．按照如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, ⋯)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ．

(2)、证明：数列 ${x_{n} - y_{n}}$ 是公比为 $\frac{1 + k}{1 - k}$ 的等比数列．

(3)、设 $S_{n}$ 为 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n} = S_{n + 1}$ ．

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亩产量	[900，950）	[950，1000）	[1000，1050）	[1100，1150）	[1150，1200）
频数	6	12	18	24	10