【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

试卷更新日期：2024-06-11 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设z＝5+i ，则i（ $\bar{z}$ +z）＝（）

A、10i B、2i C、10 D、﹣2

查看试题解析
2. 集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x| $\sqrt{x}$ ∈A}，则∁_A（A∩B）＝（）

A、{1，4，9} B、{3，4，9} C、{1，2，3} D、{2，3，5}

查看试题解析
3. 若实数x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 4 x - 3 y - 3 ⩾ 0 \\ x - 2 y - 2 ⩽ 0 \\ 2 x + 6 y - 9 ⩽ 0 \end{array}$ 则z＝x﹣5y的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣2 D、 $- \frac{7}{2}$

查看试题解析
4. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若S₅＝S₁₀ ， a₅＝1，则a₁＝（）

A、﹣2 B、 $\frac{7}{3}$ C、1 D、2

查看试题解析
5. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为F₁（0，-4），F₂（0，4），点P（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
6. 设函数f（x）＝ $\frac{e^{x} + 2 s i n x}{1 + x^{2}}$ ，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
7. 函数f（x）＝﹣x²+（e^x﹣e^﹣^x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知 $\frac{c o s α}{c o s α - s i n α} = \sqrt{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ ＝（）

A、 $2 \sqrt{3} + 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

查看试题解析
9. 已知向量 $\vec{a}$ ＝（x+1，x）， $\vec{b}$ ＝（x ， 2），则（）

A、“ $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ”的必要条件是“x＝﹣3” B、“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的必要条件是“x＝﹣3” C、“ $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ”的充分条件是“x＝0” D、“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的充分条件是“x＝﹣1+ $\sqrt{3}$ ”

查看试题解析
10. 已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m ．下列四个命题：
①若m∥n ，则n∥α或n∥β
②若m⊥n ，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（）

A、①③ B、②③ C、①②③ D、①③④

查看试题解析
11. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，若 $B = \frac{π}{3} ， b^{2} = \frac{9}{4} a c$ ，则sinA+sinC＝（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
12. 已知a ， b ， c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x²+（y+2）²＝5交于A ， B两点，则|AB|的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

查看试题解析

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 二项式 ${(\frac{1}{3} + x)}^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是．

查看试题解析
14. 已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r₂和r₁ ，母线长分别为2（r₁﹣r₂）和3（r₁﹣r₂），则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}}$ ＝．

查看试题解析
15. 已知a＞1， $\frac{1}{l o g_{8} a} - \frac{1}{l o g_{a} 4} = - \frac{5}{2}$ ，则a＝．

查看试题解析
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是．

查看试题解析

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17. 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150

(1)、填写如下列联表：

优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？

(2)、已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 $\bar{p} > p + 1.65 \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\sqrt{150}$ ≈12.247）
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

查看试题解析
18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且4S_n＝3a_n+4．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (- 1)^{n - 1} n a_{n}$ ，求数列{b_n}的前n项和为T_n ．

查看试题解析
19. 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2， $E D = \sqrt{10}$ ， FB= $2 \sqrt{3}$ ， M为AD的中点.

(1)、证明：BM∥平面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B M - E$ 的正弦值．

查看试题解析
20. 已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x ．

(1)、当a＝﹣2时，求f（x）的极值；

(2)、当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，点M（1， $\frac{3}{2}$ ）在椭圆C上，且MF⊥x轴．

(1)、求C的方程；

(2)、过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A ， B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q ，证明：AQ⊥y轴．

查看试题解析

四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．第22题[选修4-4：坐标系与参数方程]；第23题[选修4-5：不等式选讲]

22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．

(1)、写出C的直角坐标方程；

(2)、直线l： ${\begin{array}{l} x = t \\ y = t + a \end{array}$ （t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．

查看试题解析
23. 实数a ， b满足a+b≥3．

(1)、证明：2a²+2b²＞a+b；

(2)、证明：|a﹣2b²|+|b﹣2a²|≥6．

查看试题解析

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	26	24	0	50
乙车间	70	28	2	100
总计	96	52	2	150

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828