【高考真题】2024年数学新课标Ⅰ卷

试卷更新日期：2024-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1. 已知集合A＝{x|﹣5＜x³＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）

A、{﹣1，0} B、{2，3} C、{﹣3，﹣1，0} D、{﹣1，0，2}

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2. 若 $\frac{z}{z - 1} = 1 + i$ ，则z＝（）

A、﹣1﹣i B、﹣1+i C、1﹣i D、1+i

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ＝（0，1）， $\vec{b}$ ＝（2，x），若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则x＝（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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4. 已知cos（α+β）＝m ， tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）

A、﹣3m B、 $- \frac{m}{3}$ C、 $\frac{m}{3}$ D、3m

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5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $6 \sqrt{3} π$ D、 $9 \sqrt{3} π$

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6. 已知函数为 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0, \\ e^{x} + 1 n (x + 1), x ⩾ 0 \end{array}$ 在R上单调递增，则a取值的范围是（）

A、（﹣∞，0] B、[﹣1，0] C、[﹣1，1] D、[0，+∞）

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7. 当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣ $\frac{π}{6}$ ）的交点个数为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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8. 已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x ，则下列结论中一定正确的是（）

A、f（10）＞100 B、f（20）＞1000 C、f（10）＜1000 D、f（20）＜10000

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}$ ＝2.1，样本方差s²＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.1²），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（ $\bar{x}$ ， s²），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）

A、P（X＞2）＞0.2 B、P（X＞2）＜0.5 C、P（Y＞2）＞0.5 D、P（Y＞2）＜0.8

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10. 设函数f（x）＝（x﹣1）²（x﹣4），则（）

A、x＝3是f（x）的极小值点 B、当0＜x＜1时，f（x）＜f（x²） C、当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0 D、当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）

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11. 造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O ，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）

A、a＝﹣2 B、点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 在C上 C、C在第一象限的纵坐标的最大值为1 D、当点（x₀ ， y₀）在C上时， $y_{0} \leq \frac{4}{x_{0} + 2}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₂作平行于y轴的直线交C与A ， B两点，若|F₁A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．

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13. 若曲线y＝e^x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝．

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14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．

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四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 记△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知sinC＝ $\sqrt{2}$ cosB ， a²+b²﹣c²＝ $\sqrt{2} a b$ ．

(1)、求B；

(2)、若△ABC的面积为3+ $\sqrt{3}$ ，求c ．

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16. 已知A（0，3）和P（3， $\frac{3}{2}$ ）为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1（a＞b＞0）上两点．

(1)、求C的离心率；

(2)、若过P的直线l交C于另一点B ，且△ABP的面积为9，求l的方程．

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17. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD ， PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ $\sqrt{3}$ ．

(1)、若AD⊥PB ，证明：AD∥平面PBC；

(2)、若AD⊥DC ，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求AD ．

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18. 已知函数f（x）＝ln $\frac{x}{2 - x}$ +ax+b（x﹣1）³ ．

(1)、若b＝0，且f^'（x）≥0，求a的最小值；

(2)、证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；

(3)、若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．

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19. 设m为正整数，数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_i和a_j（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁ ， a₂…，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列．

(1)、写出所有的（i ， j），1≤i＜j≤6，使数列a₁ ， a₂ ， …，a₆是（i ， j）——可分数列；

(2)、当m≥3时，证明：数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（2，13）——可分数列；

(3)、从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列的概率为P_m ，证明：P_m＞ $\frac{1}{8}$ ．

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