湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-11 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}, B = {x ∣ y = l n (2 - 5 x)}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{2}{5}}$ B、 ${x | - 1 \leq x < \frac{2}{5}}$ C、 ${x | \frac{2}{5} < x \leq 3}$ D、 ${x | \frac{2}{5} \leq x \leq 3}$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 4 i$ ，则复数 $z$ 的虚部为( )

A、-1 B、 $- i$ C、-2 D、 $- 2 i$

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3. 已知 $a = 2^{- 3}, b = l o g_{2} 3, c = l o g_{4} 6$ ，则( )

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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4. 对于两条不同直线m ， n和两个不同平面 $α, β$ ，以下结论中正确的是( )

A、若 $m / / α, n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α / / β, m / / α$ ，则 $m / / β$ C、若 $α ⊥ β, m / / α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ n, n ⊥ α$ ，则 $m / / α$

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5. 一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为( )

A、 $14 π$ B、 $21 π$ C、 $28 π$ D、 $35 π$

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6. 若 $s i n α + c o s α = \frac{1}{5}, α \in (0, π)$ ，则 $t a n 2 α =$ ( )

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{24}{7}$

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7. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2, | \vec{c} | = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ ( )

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) = f (x + 6) + f (3)$ ，若 $y = f (x + 2)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称，且对 $\forall x_{1}, x_{2} \in [0, 3]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{2} - x_{1}) \cdot [f (x_{2}) - f (x_{1})] < 0$ ，则下列结论正确的是( )

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是周期为4的周期函数 D、 $f (2023) > f (- 2024)$

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二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9. 已知 $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是( )

A、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2024} = 1$ B、若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ C、若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ D、若复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = | z + 1 |$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点的轨迹为直线

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10. 对于任意的 $x \in R, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.十八世纪， $y = [x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )

A、函数 $y = [x], x \in R$ 的图象关于原点对称 B、函数 $y = x - [x], x \in R$ 的值域为 $[0, 1)$ C、对于任意的 $x, y \in R$ ，不等式 $[x] + [y] \leq [x + y]$ 恒成立 D、不等式 $2 [x]^{2} + [x] - 1 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$

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11. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体也称为“阿基米德多面体”，如图所示的半正多面体由正方体截去八个一样的四面体得到的，其棱长为1，也称为二十四等边体.关于如图所示的二十四等边体，下列说法正确的是( )

A、 $\vec{A E}$ 和 $\vec{B C}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、该几何体的体积为 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ C、平面ELI与平面DCG的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、二十四等边体表面上任意两点间距离最大为2

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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为2，弦AB的长度为3，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} =$ .

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13. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = A D = 2, A B = 1, E$ 为棱PA的中点，则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6, A C = 4, B C = 2 \sqrt{7}, D 、 E$ 分别是边AB ， AC上的点， $A E = 2$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = 2$ ，点 $P$ 是线段DE的中点，且 $\vec{P A} = x \vec{P B} + y \vec{P C}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ .

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四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - 2), \vec{c} = (λ + 3, 1)$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、求 $c o s θ$ 的值.

(2)、若 $\vec{c} ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

(3)、在（2）的条件下，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{c}$ 方向上的投影向量的坐标.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s^{2} ω x + s i n 2 ω x - \sqrt{3} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调增区间.

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17. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = C C_{1} = 2, M, N, P$ 分别是 $C C_{1}, A B, B B_{1}$ 的中点.

(1)、若点E为矩形 $A B B_{1} A_{1}$ 内动点，使得 $M E / /$ 面CPN ，求线段ME的最小值；

(2)、求证： $A B_{1} ⊥$ 面 $A_{1} M B$ .

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18. 已知 $a, b, c$ 分别为锐角三角形ABC三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $c o s B + \sqrt{3} s i n B = \frac{b + c}{a}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}, D$ 为BC的中点，求中线AD的取值范围.

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19. 已知集合 $M = {x \in R ∣ x \neq 0$ 且 $x \neq 1}, f_{n} (x) (x \in N^{*})$ 是定义在 $M$ 上的一系列函数，满足 $f_{1} (x) = x$ ， $f_{i + 1} (x) = f_{i} (\frac{x - 1}{x}) (i \in N^{*})$ .

(1)、求 $f_{3} (x), f_{4} (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x)$ 为定义在 $M$ 上的函数，且 $g (x) + g (\frac{x - 1}{x}) = 1 + f_{4} (x)$ .
①求 $g (x)$ 的解析式；
②若关于 $x$ 的方程 $(2 x - 1 - m) [2 x (x - 1) g (x) + 3 x^{2} + x + 1] + 8 x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 有且仅有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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