【高考真题】2024年上海市高考数学卷（春季）

试卷更新日期：2024-06-11 类型：高考真卷

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一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. log₂x的定义域．

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2. 直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为．

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3. 已知 $\frac{Z}{1 + i} = i$ ，则 $\bar{Z} =$ ．

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4. （x﹣1）⁶展开式中x⁴的系数为．

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5. 三角形ABC中， $B C = 2, A = \frac{π}{3}, B = \frac{π}{4}$ ，则AB＝．

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6. 已知ab＝1，4a²+9b²的最小值为．

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7. 数列{a_n}，a_n＝n+c ， S₇＜0，c的取值范围为．

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8. 三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．

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9. 已知 $f (x) = x^{2}, g (x) = {\begin{array}{l} f (x), x ⩾ 0 \\ - f (- x), x < 0 \end{array}$ ，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围．

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10. 已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁底面ABCD为平行四边形，AA₁＝3，BD＝4且 $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{B C} - \vec{A D_{1}} \cdot \vec{D C} = 5$ ，求异面直线AA₁与BD的夹角．

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11. 正方形草地ABCD边长1.2，E到AB ， AD距离为0.2，F到BC ， CD距离为0.4，有个圆形通道经过E ， F ，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01）

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12. a₁＝2，a₂＝4，a₃＝8，a₄＝16，任意b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄∈R，满足{a_i+a_j|1≤i＜j≤4}＝{b_i+b_j|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄}有对．

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二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13. a ， b ， c∈R，b＞c ，下列不等式恒成立的是（）

A、a+b²＞a+c² B、a²+b＞a²+c C、ab²＞ac² D、a²b＞a²c

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14. 空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m ， n ，则下列说法中正确的是（）

A、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B、若α⊥β，m⊥α，m⊥n ，则n⊥β C、若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D、若α∥β，m∥α，m∥n ，则n∥β

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15. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B相互独立 C、事件A与事件B∪C互斥 D、事件A与事件B∩C相互独立

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16. 现定义如下：当x∈（n ， n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f^'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝e^x与h（x）＝x¹⁰均为延展函数，则以下结论（）
①存在y＝kx+b（k ， b∈R；k ， b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
②存在y＝kx+b（k ， b∈R；k ， b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点

A、①②都成立 B、①②都不成立 C、①成立②不成立 D、①不成立②成立

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三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）

17. 已知f（x）＝sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ），ω＞0．

(1)、设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；

(2)、a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．

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18. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC ．

(1)、证明：PA⊥BC；

(2)、若圆锥侧面积为 $\sqrt{3} π$ ， BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．

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19. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)、随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)、进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)、抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点．

(1)、若点A的横坐标为2，求|AF₁|的长；

(2)、设Γ的上、下顶点分别为M₁、M₂ ，记△AF₁F₂的面积为S₁ ， △AM₁M₂的面积为S₂ ，若S₁≥S₂ ，求|OA|的取值范围．

(3)、若点A在x轴上方，设直线AF₂与Γ交于点B ，与y轴交于点K ， KF₁延长线与Γ交于点C ，是否存在x轴上方的点C ，使得 $\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B} + \vec{F_{1} C} = λ (\vec{F_{2} A} + \vec{F_{2} B} + \vec{F_{2} C}) (λ \in R)$ 成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．

(1)、若f（x）＝x²+1，求M（1）和L（1）；

(2)、若f（x）＝x³﹣3x² ，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞），且存在a ，使得﹣4∈M（a）．

(3)、已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c ，均有M（﹣c）＝L（c）”．

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