湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：月考试卷

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一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1. 若集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}，B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}，则A∩B的元素个数为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知复数z＝（1+i）•（m﹣2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（　　）

A、m＞2 B、0＜m＜2 C、﹣2＜m＜2 D、m＜﹣2

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3. 设a∈R ，则“a＝1”是“ $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + a x)$ 为奇函数”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 抛物线y＝x²的焦点坐标是（　　）

A、（ $\frac{1}{4}$ ， 0） B、（﹣ $\frac{1}{4}$ ， 0） C、（0， $\frac{1}{4}$ ） D、（0，﹣ $\frac{1}{4}$ ）

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \vec{B E} - \frac{1}{3} \vec{C F}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{B E} - \vec{C F}$ C、 $- \vec{B E} - \vec{C F}$ D、 $- \frac{4}{9} \vec{B E} - \vec{C F}$

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6. 某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆．现甲，乙两位工匠要完成A ， B ， C三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆．每道工序所需的时间（单位：h）如下：
原料时间工序
A
B
C
复型
9
16
10
上漆
15
8
14
则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（　　）

A、43 h B、46 h C、47 h D、49 h

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7. 已知函数f（x）＝sin²ωx+sinωxcosωx﹣1（ω＞0）在( $0, \frac{π}{2}$ )上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围是（　　）

A、 $(\frac{5}{2}, 3]$ B、 $(2, \frac{7}{2})$ C、 $(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}]$ D、 $(3, \frac{9}{2}]$

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8. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝cos2x+|sinx|，则下列结论正确的是（　　）

A、f（x）是奇函数 B、f（x）的最小正周期为2π C、f（x）的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、f（x）在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（）

A、可以估计，该地区年夜饭消费金额在 $（ 2400 ， 3200]$ 家庭数量超过总数的三分之一 B、若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个 C、可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元 D、可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元

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10. 已知圆锥的顶点为S ，高为1，底面圆的直径AC= $2 \sqrt{3}$ ， B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（　　）

A、圆锥的侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ B、△SAB面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、直线SB与平面SAC所成角的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、若B是 $\hat{A C}$ 的中点，则（SF+CF）²的最小值为 $10 + \sqrt{15}$

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11. 已知抛物线x²＝2py（p＞0）的焦点为F ，过点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线l与该抛物线相交于M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）两点（其中x₁＞0），则下面说法正确的是（　　）

A、若p＝2，则x₁x₂＝﹣4 B、若y₁y₂＝1，则p＝2 C、若p＝2，则 $S_{△ O M N N} = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ D、若p＝2，则 $| M F | = 8 + 4 \sqrt{3}$

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12. 已知矩形ABCD中， $A D = \sqrt{3} A B = 2 \sqrt{3}$ ， △ABD沿着BD折起使得形成二面角A^'﹣BD﹣C ，设二面角A^'﹣BD﹣C的平面角为θ，则下面说法正确的是（　　）

A、在翻折的过程中，A^'、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12π B、存在θ，使得A^'B⊥CD C、当 $t a n θ = 2 \sqrt{2}$ 时， $|A^{^{'}} C| = 2 \sqrt{2}$ D、当 $c o s θ = \frac{1}{3}$ 时，直线A^'C与直线BD的夹角为45°

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三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13. 曲线f（x）＝xe^x﹣3x+1在点（0，1）处的切线方程是（结果用一般式表示）．

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14. 已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足 $P (X = k) = \frac{3^{k}}{k!} e^{- 3}$ （k＝0，1，2，⋯），已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为．

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15. 近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“3+1+2”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} x^{2} - a x ⩾ 0$ 在x∈[0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为．

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四、解答题（共6小题，每题70分）

17. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且满足 $\frac{s i n B + s i n C}{s i n A - s i n C} = \frac{s i n A + s i n C}{s i n B}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， △ABC的角平分线AD与边BC相交于点D ，且 $A D = \frac{2}{3}$ ，求△ABC的面积．

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18. 已知等差数列{a_n}满足a_n+a_n_﹣1＝8n+2（n≥2），数列{b_n}是公比为3的等比数列，a₂+b₂＝20．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、数列{a_n}和{b_n}中的项由小到大组成新的数列{c_n}，记数列{c_n}的前n项和为S_n ，求S₅₀ ．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，过F₁的直线m与椭圆C相交于A ， B两点，且△ABF₂的周长为8．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M ， N两点，直线l的方程为x＝4．过点M作MP⊥l于点P ，过点N作NQ⊥l于点Q ．记△GPQ ， △GPM ， △GQN的面积分别为S ， S₁ ， S₂ ．问是否存在实数λ，使得 $λ \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}} - S = 0$ 成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知函数f（x）＝（mx²+1）e^﹣^x（m∈R）．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数g（x）＝f（x）+nxe^﹣^x﹣1在（0，1）上有零点，且m+n＝e﹣1，求实数m的取值范围．

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21. 旅游承载着人们对美好生活的向往．随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代．某旅游景区为吸引旅客，提供了A、B两条路线方案．该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：

A
路线
B
路线
合计
好
一般
好
一般
男

20
55

120
女
90

40
180
合计

50

75
300

(1)、填补上面的统计表中的空缺数据，并讨论能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A ， B两条路线的选择与性别有关？

(2)、某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路．请用计算说明理由．
附 $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a+b+c+d ．
P（K²≥k₀）
0.100
0.050
0.010
0.001
k₀
2.706
3.841
6.635
10.828

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22. 已知在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝AC ， △ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形．

(1)、证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)、设PA＝2，存在该几何体外的一点D ，使得△BCD为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，求AD的长．

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	A 路线		B 路线		合计
	好	一般	好	一般	合计
男		20	55		120
女	90			40	180
合计		50		75	300

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

原料时间工序	A	B	C
复型	9	16	10
上漆	15	8	14