Z20 名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2024届高三第三次联考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合A={x|2≤x<4}，B={x|x-1≥8-2x}，则AUB=（）

A、[2，4] B、(3，4) C、[2，+∞） D、[3，+∞）

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2. 复数 $\frac{5 i}{i - 2}$ 的虚部是（）

A、i B、1 C、-2i D、-2

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a}$ · $\vec{b}$ =0，则 cos<3 $\vec{a}$ +4 $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ + $\vec{b}$ >=（）

A、0 B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、1

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4. 设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，已知S₃=a₄-2，S₂=a₃-2，则公比q=（　　）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知A(-2，-2)，B(1，3)，点P 在圆x²+y²=4 上运动，则|PA|²+|PB|²的最大值为（　　）

A、16-6√2 B、26+2√2 C、26+4√2 D、32

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6. 若函数f（x）=sin（ωx）+cosx的最大值为2，则常数ω的取值可以为（　　）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 已知[x] 表示不超过x 的最大整数：，若x=1为函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x} - 1} (x < 0)$ 的极值点，则f([t])=（）

A、 $\frac{2 e}{e - 1}$ B、 $\frac{3 e^{2}}{e^{2} - 1}$ C、 $\frac{4 e^{3}}{e^{3} - 1}$ D、 $\frac{5 e^{4}}{e^{4} - 1}$

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8. 设O为原点，F，F₂ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点，点P在C上且满足 $| O P | = \frac{3}{2} a$ ， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{7}$ 则该双曲线的渐近线方程为（）

A、√2x±y=0 B、x±√2y=0 C、√3x±y=0 D、x±√3y=0

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B、已知随机变量X 服从正态分布N(μ，σ²)，σ 越小，表示随机变量X 分布越集中 C、已知一组数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的方差为3，则x₁-1，x₂-1，x₃-1，…，x_n-1的方差为3 D、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若其中一个散点为（m，-0.28），则m=4

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10. 已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 $\frac{2}{\sqrt{3}} a {s i n}^{2} \frac{A + C}{2} = b ∙ s i n A$ ，下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若a=4，b=5，则△ABC 有两解 C、当 $a - c = \frac{\sqrt{3}}{3} b$ 时，△ABC 为直角三角形 D、若△ABC 为锐角三角形，则cosA+cosC 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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11. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E、F分别为线段B₁C，D₁C₁的中点，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D B}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 λ+μ=1时，则三棱锥 D-PEF的体积为定值 B、λ=μ= $\frac{1}{2}$ 四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积是 $\frac{9 π}{4}$ C、△PEF 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$ D、若 $A P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 则点P 的轨迹长为 $\frac{π}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为.

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13. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是. 种. (用数字作答)

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14. 已知关于x 的不等式(lnx-2ax)[x²-(2a+1)x+1]≤0对任意x ∈(0，+o)恒成立，则实数a 的取值范围是..

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

15. 已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁、a₂、a₅成等比数列，且a_2n=2a_n+1．

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、求a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1 ．

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16. 已知四面体A-BCD，AB=AD=BC=CD=2，AC=√3

(1)、证明： AC⊥BD；

(2)、若BD=2√3，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值.

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17. 为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天，他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能
量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n 天不下雪的概率为R ·

(1)、求 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 的值，并求 $P_{n}$ ；

(2)、设小王寒假第n 天通过运动消耗的能量为X，求 X 的数学期望.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为、F，焦距为2√3，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 直线l：y=x+m 与椭圆交于A、B两点(其中点A在x 轴上方，点B 在x 轴下方).
折叠前

(1)、求椭圆C 的标准方程；

(2)、如图，将平面xOy沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面A'FF₂) 与y 轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面B'FF₂) 垂直.
①若折叠后OA'⊥OB'，求m 的值；
②是否存在m，使折叠后A、B'两点间的距离与折叠前A、B两点间的距离之比

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19. 在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x) 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $α (0 < α \leq \frac{π}{2})$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.

(1)、判断函数y=√5x是否为“ $\frac{π}{6}$ 旋转函数”，并说明理由；

(2)、已知函数f(x)=In(2x+1)(x>0) 是“α旋转函数”，求tanα 的最大值；

(3)、若函数 $g (x) = m (x - 1) e^{x} - x l n x - \frac{x^{2}}{2}$ “ $\frac{π}{4}$ 旋转函数”，求m 的取值范围.

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.