江西省吉安市六校协作体2024届高三下学期5月联合数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $z = \frac{3 + a i}{2 + i}$ 是实数，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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2. 若 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (\sqrt{2}, - 2)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $x =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ 与直线 $k x - y + 2 = 0$ 有公共点，则整数 $k$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、2

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4. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长均为6，点 $E, F$ 分别在棱 $B C, B D$ 上， $E F$ $∥$ $C D, E F = 4$ ，则四棱锥 $A - C D F E$ 的体积为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 为营造欢乐节日气氛､传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区 $A, B$ 两个规定区域燃放烟花爆竹，甲､乙两人各自决定从这7天选1天去 $A, B$ 中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲､乙两人不在同一天去同一个地方，则去的种数为（）

A、35 B、84 C、91 D、182

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6. 若 $a > b > 2$ ，且 $m (a - 1) = (b - 1) l n (a - 1) - (b - 1) l n (b - 1)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $(- ∞, \frac{1}{e}]$ C、 $[\frac{1}{e}, + ∞)$ D、 $[\frac{1}{e}, 1)$

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7. 若 $s i n x + c o s x = 2 \sqrt{2} c o s (\frac{x + y}{2} + \frac{π}{4}) s i n \frac{x - y}{2}$ ，则 $t a n y =$ （）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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8. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，若 $f (n) = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}}$ ，记 $[m]$ 表示不超过 $m$ 的最大整数，则 $[f (400)] =$ （）

A、37 B、38 C、39 D、40

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二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布 $1000 V$ 高压 $S i c$ 平台，实现充电 $5 \sim 8$ 分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据： $1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 2$ ，则（）

A、这组数据的众数为1 B、这组数据的极差为3 C、这组数据的平均数为2.5 D、这组数据的 $40 %$ 分位数为2

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10. 已知点 $A, B$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上关于原点对称且不与 $C$ 的顶点重合的两点， $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $O$ 为原点，则（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $| A B |$ 的值可以为3 C、 $| A F_{2} | + | B F_{2} | = 4$ D、若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则 $| A F_{1} | \cdot | A F_{2} | = \frac{15}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n x | s i n x | - c o s 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 2]$ C、若方程 $f (x) = - \frac{1}{4}$ 在 $(0, m)$ 上有6个不同的实根，则实数 $m$ 的取值范围是 $(\frac{17 π}{6}, \frac{10 π}{3})$ D、若方程 $[f (x)]^{2} - 2 a f (x) + a^{2} = 1 (a \in R)$ 在 $(0, 2 π)$ 上有6个不同的实根 $x_{i} (i = 1, 2, ⋯, 6)$ ，则 $a \sum_{i = 1}^{6} x_{i}$ 的取值范围是 $(0, 3 π)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设集合 $A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | \frac{5}{4} ⩽ x < 4}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为..

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13. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + 2 c^{2} = 3 a^{2}$ ，则 $c o s A$ 的最小值为.

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14. 在以 $O$ 为原点的平面直角坐标系中， $F^{'}$ 和 $F$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，点 $A$ 为 $C$ 右支上一点，且 $△ O A F$ 是以 $A$ 为顶点的直角三角形，延长 $F A$ 交 $C$ 的左支于点 $B$ ，若点 $A$ 为线段 $B F$ 上靠近点 $F$ 的五等分点，则 $C$ 的离心率为.

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四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a x - a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个零点，求 $a$ 的取值范围.

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16. 2023年10月国家发改委､工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年—2023年中国竹产业产值规模 $y$ （单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码 $x$ 依次为 $1 - 5$ .
$x$
1
2
3
4
5
$y$
2.89
3.22
3.82
4.34
5.41

(1)、记第 $i + 1$ 年与 $i$ 年 $(i = 1, 2, 3, 4)$ 中国竹产业产值规模 $y$ 差值的2倍的整数部分分别为 $n_{i}$ ，从 $n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}$ 中任取2个数相乘，记乘积为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模 $y$ 与年份 $x$ 之间的关系.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 19.68, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 65.20, \sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} \approx 1.99, \sqrt{10} \approx 3.16$ .
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} y}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ 若 $| r | ⩾ 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 有较强的相关性.

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17. 如图， $△ O_{1} A B$ 为圆锥 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面，点 $C$ 为圆 $O_{2}$ 上与 $A, B$ 不重合的点.

(1)、在线段 $A C$ 上找一点 $E$ ，使平面 $O_{1} O_{2} E ⊥$ 平面 $O_{1} A C$ ，并证明你的结论；

(2)、若 $O_{1} D ⊥$ 平面 $O_{1} A B$ ，点 $C, D$ 在平面 $O_{1} A B$ 的两侧， $O_{1} O_{2} = 3, A B = 2, A C = \sqrt{2}, O_{1} D = \frac{3}{2}$ ，求平面 $O_{1} A C$ 与平面 $O_{1} B D$ 夹角的余弦值.

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18. 已知点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 是抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 上不同三点，直线 $A B, A C$ 与抛物线 $E_{2} : x^{2} = 2 p_{2} y (p_{2} > 0)$ 相切.

(1)、若直线 $A B$ 的斜率为2，线段 $A B$ 的中点为 $D (2, 2)$ ，求 $E_{1}, E_{2}$ 的方程；

(2)、若 $p_{1}, p_{2}$ 为定值，当 $A, B, C$ 变动时，判断 $y_{1} + y_{2} + y_{3}$ 是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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19. 初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ ，幂和对称多项式 $P_{k} (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{k}, k, n \in N^{*}$ ，且 $P_{0} (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) = n$ ；初等对称多项式 $e_{k} (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n})$ 表示在 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ 中选出 $k (k \in N^{*})$ 个变量进行相乘再相加，且 $e_{0} (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) = 1$ .例如：对 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, e_{0} = 1, e_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3}, e_{2} = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3}, e_{3} = x_{1} x_{2} x_{3}$ .已知三次函数 $f (x) = a_{0} x^{3} + a_{1} x^{2} + a_{2} x + a_{3}$ 有3个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $a_{0} = 1$ .记 $P_{k} = P_{k} (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ， $e_{k} = e_{k} (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ .

(1)、证明： $e_{k} = a_{k} \cdot (- 1)^{k} (k = 0, 1, 2, 3)$ ；

(2)、（i）证明： $P_{3} - e_{1} P_{2} + e_{2} P_{1} - e_{3} P_{0} = 0$ ；
（ii）证明： $\sum_{k = 0}^{3} (- 1)^{k} \cdot e_{k} P_{m - k} = 0 (m ⩾ 3$ ，且 $m \in N^{*})$ ；

(3)、若 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 2, x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 3$ ，求 $x_{1}^{5} + x_{2}^{5} + x_{3}^{5}$ .

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$x$	1	2	3	4	5
$y$	2.89	3.22	3.82	4.34	5.41