河北省保定市保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $A = {x | - 4 \leq x \leq 2}, B = {x | l g (x - 1) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 4 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 4 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2}$

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2. 函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) - \frac{x}{2}$ （）

A、是偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、是偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减 C、是奇函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、既不是奇函数，也不是偶函数

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3. 如图，一个电路中有 $A, B, C$ 三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，这个电路是通路的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ ，则“ $a_{n - 2} + a_{n + 2} = 2 a_{n} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $3 a = 2 b, B = 2 A$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $- \frac{7}{16}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线在第一象限交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，若 $\vec{A F} = \vec{F C}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 若函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 在区间 $[a, b]$ 上是减函数，且 $f (a) = 1, f (b) = - 1, b - a = π$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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8. 已知 $△ A B C$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的正三角形，点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $| \vec{A P} + \vec{B P} + \vec{C P} | = 3$ ，则 $| \vec{A P} |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D$ 中， $E, F, M, N$ 分别为棱 $A A_{1}, A_{1} D_{1}, A B, D C$ 的中点，点 $P$ 是面 $B_{1} C$ 的中心，则下列结论正确的是（）

A、 $E, F, M, P$ 四点共面 B、平面 $P E F$ 被正方体截得的截面是等腰梯形 C、 $E F$ $∥$ 平面 $P M N$ D、平面 $M E F ⊥$ 平面 $P M N$

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10. 已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足： $z_{1}$ 为纯虚数， $| z_{2} - 1 | = 2 | z_{2} - 4 |$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z_{1}^{2} = - {| z_{1} |}^{2}$ B、 $3 \leq | z_{2} | \leq 7$ C、 $| z_{1} - z_{2} |$ 的最小值为3 D、 $| z_{1} - z_{2} + 3 i |$ 的最小值为3

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对 $\forall x, y \in R, f (x + y) - f (x - y) = 2 f (1 - x) f (y)$ ，且 $f (1) = 1, f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (2024) = 0$ C、 $f^{'} (1) + f^{'} (2) + ⋯ + f^{'} (2025) = 0$ D、 ${[f (x)]}^{2} + {[f (1 - x)]}^{2} = 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.

12. 已知圆锥曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，且离心率为2，则 $\frac{m}{n} =$ .

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13. 已知矩形 $A B C D$ 中 $A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2$ ，以 $A C$ 所在直线为旋转轴，将矩形 $A B C D$ 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为.

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14. 一只口袋装有形状､大小完全相同的3只小球，其中红球､黄球､黑球各1只.现从口装中先后有放回地取球 $2 n$ 次 $(n \in N^{*})$ ，且每次取1只球， $X$ 表示 $2 n$ 次取球中取到红球的次数， $Y = {\begin{array}{l} X, X 为奇数 \\ 0, X 为偶数 \end{array}$ ，则 $Y$ 的数学期望为（用 $n$ 表示）.

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四、､解答题：本题共5小题，共77分.

15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} e^{a x} (x > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

(2)、若函数 $f (x)$ 有最大值 $\frac{1}{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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16.

(1)、假设变量 $x$ 与变量 $Y$ 的 $n$ 对观测数据为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) ⋯ (x_{n}, y_{n})$ ，两个变量满足一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + e \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ ，请写出参数 $b$ 的最小二乘估计；

(2)、为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量 $w$ （万），其中年份对应的年份代码 $t$ 为1-5.已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述.
年份代码 $t$
1
2
3
4
5
销量 $w$ （万）
4
9
14
18
25
令变量 $x = t - \bar{t}, y = w - \bar{w}$ ，则变量 $x$ 与变量 $y$ 满足一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + e \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ ，利用（1）中结论求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $P C$ 上， $E F ⊥ P C, A C = 4 \sqrt{2}, B D = 4, E F = 2$ .

(1)、证明： $D F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $α$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $β$ ，求 $α + β$ .

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18. 已知圆 $E : (x + \sqrt{6})^{2} + y^{2} = 32$ ，动圆 $C$ 与圆 $E$ 相内切，且经过定点 $F (\sqrt{6}, 0)$

(1)、求动圆圆心 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $l : y = x + t$ 与（1）中轨迹交于不同的两点 $A, B$ ，记 $△ O A B$ 外接圆的圆心为 $M$ （ $O$ 为坐标原点），平面上是否存在两定点 $C, D$ ，使得 $| | M C | - | M D | |$ 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.

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19. 对于数列 ${a_{n}}$ ，如果存在等差数列 ${b_{n}}$ 和等比数列 ${c_{n}}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n} (n \in N^{*})$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是“优分解”的.

(1)、证明：如果 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 ${a_{n}}$ 是“优分解”的.

(2)、记 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} (n \in N^{*})$ ，证明：如果数列 ${a_{n}}$ 是“优分解”的，则 $Δ^{2} a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ 或数列 ${Δ^{2} a_{n}}$ 是等比数列.

(3)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，如果 ${a_{n}}$ 和 ${S_{n}}$ 都是“优分解”的，并且 $a_{1} = 3, a_{2} = 4, a_{3} = 6$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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年份代码 $t$	1	2	3	4	5
销量 $w$ （万）	4	9	14	18	25