重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - 4 x - 5 \leq 0}, B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 已知 $z = \frac{a + i}{1 + 2 i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $z \cdot \bar{z}$ 的值为( )

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{4}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (m - 1, 2 m + 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、-5

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4. 设 $α, β, γ$ 是三个不同的平面，a ， b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β, a \subset α, b \subset β$ ，则 $a ⊥ b$ B、若 $α / / β, a \subset α, b \subset β$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / α, b \subset β$ ，则 $a$ 与 $b$ 异面 D、若 $α \cap_{}^{} β = a, α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $a ⊥ γ$

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5. 已知 $c o s (\frac{π}{4} - α) = 3 c o s (α + \frac{π}{4})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知抛物线 $C : y = 4 x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，该抛物线上一点 $P$ 到 $y = - 1$ 的距离为4，则 $| P F | =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{49}{16}$ D、 $\frac{7}{2}$

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7. 已知 $y = f (x + 1) + 1$ 为奇函数，则 $f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3) =$ （）

A、-5 B、-12 C、-10 D、-6

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8. 如图，函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图像与 $x$ 轴的其中两个交点分别为A ， B ，与y轴交于点C ， D为线段BC的中点， $O B = \sqrt{3} O C$ ， $O A = 2, A D = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $12 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 8$ 对称 C、 $f (2) = f (- 4)$ D、 $f (- x + 2)$ 为偶函数

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二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9. 已知直线 $l : x + m y - m + 3 = 0$ ，圆 $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 3, 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 相交 C、当直线 $l$ 平分圆 $C$ 时， $m = - 4$ D、当点 $C$ 到直线 $l$ 距离最大时， $m = \frac{1}{4}$

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10. 已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = B C = 2$ ，直线 $A_{1} C$ 与底面ABC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则（）

A、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ B、点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、当点 $D$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点时，平面 $D B B_{1} ⊥$ 平面 $D C C_{1}$ D、E、F分别为棱 $B B_{1} 、 C C_{1}$ 上的动点，当 $A E + E F + F A_{1}$ 取得最小值时， $A_{1} F = E F$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2}$ ( $a$ 为常数)，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $2 x - y + 1 = 0$ B、若 $f (x)$ 有3个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(e^{2}, + \infty)$ C、当 $a = e^{2}$ 时， $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ ，且 $- 1 < x_{0} < - \frac{1}{2}$

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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12. 已知 $a = l o g_{2} 5, 8 = 5^{b}$ ，则 $a b =$ .

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13. 设A ， B是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{4}, P (B) = \frac{1}{3}, P (A \cup B)$ $= \frac{1}{2}$ ，则 $P (B ∣ A) =$ .

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14. 有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) (n \in N^{*})$ 称为 $n$ 维向量， $| x_{1} | + | x_{2} | + ⋯ + | x_{n} |$ 为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in {0, 1, 2}, i = 1, 2, ⋯, n$ .记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{4} =$ ； $A_{2 n + 1} =$ .(用含 $n$ 的式子表示)

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四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 10 x + 3 a l n x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x + 4 y - 1 = 0$ 垂直.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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16. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}}, b c o s C + c c o s B$ $= - 2 a c o s A$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ P B C = 9 0^{°}, A D / / B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{°}, 2 A B = 2 A D = B C = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面PBD；

(2)、若二面角B-PC-D的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求直线PD与底面ABCD所成角的余弦值.

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18. 已知F ， C分别是椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点、上顶点，过原点的直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于A ， B两点，满足 $| A F | + | B F | = 4, ∠ F C O = \frac{π}{3}$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设椭圆 $Γ$ 的下顶点为 $D$ ，过点 $D$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，这两条直线与椭圆 $Γ$ 的另一个交点分别为M ， N ，设直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k (k \neq 0), △ D M N$ 的面积为 $S$ ，当 $\frac{S}{| k |} > \frac{16}{9}$ 时，求 $k$ 的取值范围.

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19. 在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次.假设每次摸出红球的概率为 $p$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat{p} = \frac{m}{n}$ .

(1)、若袋中这两种颜色球的个数之比为1：3，不知道哪种颜色的球多，有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$ ，则 $Y ~ B (3, p)$ .
注： $P_{p} (Y = k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率.
①完成下表：
$k$
0
1
2
3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$
$\frac{27}{64}$
$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$
$\frac{9}{64}$
$\frac{27}{64}$
②在统计理论中，把使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大值时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat{p}$ ，请写出 $\hat{p}$ 的值；

(2)、把(1)中“使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大值时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat{p}$ ”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤：先对参数 $θ$ 构建对数似然函数 $l (θ)$ ，再对其关于参数 $θ$ 求导，得到似然方程 $l^{^{'}} (θ)$ ，最后求解参数 $θ$ 的估计值.已知 $Y ~ B (n, p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为 $l (p) = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} l n p + \sum_{i = 1}^{n} (1 - X_{i}) l n (1 - p)$ ，其中 $X_{i} = {\begin{array}{l} 0, 第 i 次摸出白球 \\ 1, 第 i 次摸出红球 \end{array}$ ，求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.

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$k$	0	1	2	3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$	$\frac{27}{64}$			$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$		$\frac{9}{64}$		$\frac{27}{64}$