江西省上饶市蓝天教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

1. 在数列 $\sqrt{1}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $2$ ， $\sqrt{5}$ …中，根据前5项的规律写出的第12个数为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 下列数列中等差数列的是（）

A、 $a_{n} = 3 n + 1$ B、 $a_{n} = 3^{n} + 1$ C、 $a_{n} = l o g_{2} n + 1$ D、 $a_{n} = 2 n^{2} + 1$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = - 16$ ，公比 $q = 2$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ， $a_{1} = 2$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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5. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(e^{2})}^{^{'}} = 2 e$ B、 ${[(2 x + 7)^{2}]}^{^{'}} = 2 (2 x + 7)$ C、 ${(c o s 2 x)}^{^{'}} = 2 s i n 2 x$ D、 ${(\frac{l n x}{x})}^{^{'}} = \frac{1 - l n x}{x^{2}}$

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6. 一个小球从 $5 m$ 的高处下落，其位移 $y$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $y = - 4.9 t^{2}$ ，则 $t = 0.5 s$ 时小球的瞬时速度（单位： $m / s$ ）为（）

A、 $- 4.9$ B、 $- 9.8$ C、 $4.9$ D、 $9.8$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象与直线 $4 x - y - 4 = 0$ 相切于点 $(2, f (2))$ ，则 $f (2) + f^{'} (2)$ =（）

A、4 B、8 C、0 D、-8

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8. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (\frac{π}{3}) + s i n x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）

9. 下列叙述不正确的是（）

A、1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B、 $a, a, a, a, \dots$ 是等比数列 C、数列0，1，2，3，…的通项公式为 $a_{n} = n$ D、数列 ${n + \frac{1}{n}}$ 是递增数列

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10. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = (- 1)^{n + 1} + 1$ B、 $a_{n} = 2 | c o s \frac{(n - 1) π}{2} |$ C、 $a_{n} = 2 | s i n \frac{n π}{2} |$ D、 $a_{n} = (- 1)^{n} + 1$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 的最小值为0 C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(0, 2)$ D、方程 $f (x) = 0$ 有3个不同的解

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三、填空题(本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分）

12. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则通项公式 $a_{n} =$ ．

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13. 如图所示为函数 $f (x)$ 的图象，则不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x - 1} < 0$ 的解集为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n} a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则 $a_{5} =$ ， $S_{40} =$ ．

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四、．解答题（本大题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = n^{2} - 7 n + 6$ ．

(1)、这个数列的第4项是多少？

(2)、150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

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16. 已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $10$ 项和.

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17. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2，且 $a_{2} ， a_{3} + 2 ， a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a$ ，点 $A (0, 0)$ 在曲线 $y = f (x)$ 上．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, - 1)$ 处的切线方程；

(3)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $E (2, 0)$ 的切线方程．

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19. 已知函数 $f (x) = a x - 1 - l n x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，且对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) ≥ b x - 2$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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