贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共28小题，每小题4分，共112分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} + x > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} + x \leq 0$ B、 $\forall x < 0$ .， $2 x^{2} + x \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $2 x^{2} + x < 0$ D、 $\exists x > 0$ ， $2 x^{2} + x \leq 0$

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2. “ $x = 1$ ”是“ $x^{2} = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = 2^{x} + 1$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知集合 $A = {x | x^{2} = 1}, B = {x | (x + 1) (x + 2) = 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2}$ B、 ${- 1}$ C、 ${1}$ D、 ${0}$

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5. 函数 $f (x) = s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{8})$ 的最小正周期是（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $4 π$

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6. 一组数据 $18, 25, 6, 38, 29$ 的极差为（）

A、16 B、20 C、32 D、30

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7. $c o s \frac{11 π}{6}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为 $A D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{E D} = \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{E D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\vec{E D} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{E D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

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9. 平面 $α$ 截球 $O$ 的球面所得圆的半径为2，球心 $O$ 到平面 $α$ 的距离为2，则此球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $28 π$ D、 $32 π$

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10. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，则两颗骰子正面朝上的点数不相同的概率为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 对于不同直线 $a, b, c$ 以及平面 $α$ ，下列说法中正确的是（）

A、如果 $a ∥ α, b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、如果 $a ∥ b, a ⊥ α$ ，则 $b ⊥ α$ C、如果 $a ⊥ α, a ⊥ b$ ，则 $b ∥ α$ D、如果 $a ⊥ b, b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$

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12. 已知函数 $f (x) = (e^{x} + a e^{- x}) (s i n x + x)$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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13. 若 $l o g_{a} 8 = - 3$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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14. 为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（）

A、0.0020 B、0.0025 C、0.0015 D、0.0030

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $s i n A : s i n B : s i n C = 2 : 3 : 4$ ，则 $△ A B C$ 中最大角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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16. 已知平面向量 $\vec{a} = (t, - 1), | \vec{b} | = 2$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $t$ 的值是（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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17. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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18. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x - 1) - \frac{4}{x} - a$ 在区间 $(2, 5)$ 内有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{4}{5})$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(- 1, \frac{3}{5})$ D、 $(- 2, \frac{6}{5})$

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19. 已知 $a$ 为正数，则 $a + \frac{4}{a}$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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20. 用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（）

A、矩形 B、梯形 C、菱形 D、平行四边形

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21. 要得到函数 $y = \sqrt{3} s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需要将函数 $y = \sqrt{3} s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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22. 若奇函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上是减函数，则下列关系式中成立的是（）

A、 $f (\frac{5}{6}) < f (\frac{2}{3}) < f (\frac{3}{4})$ B、 $f (\frac{3}{4}) < f (\frac{5}{6}) < f (\frac{2}{3})$ C、 $f (\frac{5}{6}) > f (\frac{3}{4}) > f (\frac{2}{3})$ D、 $f (\frac{5}{6}) < f (\frac{3}{4}) < f (\frac{2}{3})$

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23. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = b c o s C$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、锐角三角形

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24. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (0, \sqrt{3})$ ，则 $3 \vec{a} + 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(6, 2 \sqrt{3})$ B、 $(2, \sqrt{3})$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $(4, 3 \sqrt{3})$

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25. 设 $z = a + i (a \in R)$ ，若 $z i + \bar{z} = 0$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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26. 若 $a > b$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $a > b + 1$ B、 $a^{4} > b^{4}$ C、 $- b > - a$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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27. 在自然界中，大气压强 $p$ （单位： $m m H g$ ）和海拔高度 $h$ （单位： $m$ ）的关系可用指数模型 $p = a e^{- k h}$ 来描述，根据统计计算得到 $a = 760, k = 0.000164$ ．现已知海拔 $4700 m$ 时的大气压强约为 $350 m m H g$ ，则当大气压强约为 $700 m m H g$ 时，海拔高度约为（参考数据： $l n 2 = 0.69$ ）（）

A、 $300 m$ B、 $400 m$ C、 $500 m$ D、 $600 m$

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28. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C, A D = A B, ∠ B C D = 45 °, ∠ B A D = 90 °$ ，将 $△ A B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，构成三棱锥 $A - B C D$ ，如图，则在三棱锥 $A - B C D$ 中，下列结论不正确的是（）

A、 $C D ⊥ A B$ B、 $C D ⊥ B D$ C、平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B D$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B D C$

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二、解答题：本题共4小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

29. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D, E$ 是 $P D$ 的中点， $F$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ．

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30. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边为 $a, b, c$ ．若 $c s i n C - a s i n A - b s i n B = \frac{1}{2} a s i n B + \frac{1}{2} b s i n A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}, c = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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31. 已知 $s i n α = - \frac{3}{5}, α$ 是第三象限角．

(1)、求 $c o s α$ 和 $c o s (α - \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $c o s (\frac{π}{2} - 2 α)$ 的值．

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32. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (a^{x} - a) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a = 2$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) - l o g_{2} (2^{x} + 1) \leq x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

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