广西五校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若 $C_{9}^{3} = C_{9}^{x}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、6 C、9 D、3或6

查看试题解析
2. 下列说法错误的是（）

A、在经验回归方程 $\hat{y} = - 2 x + 0.8$ 中，当解释变量 $x$ 每增加1个单位时，响应变量 $\hat{y}$ 平均增加2个单位 B、若变量 $x$ 和 $y$ 之间的样本相关系数为 $r = - 0.999$ ，则变量 $x$ 和 $y$ 之间的负相关很强 C、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D、决定系数 $R^{2}$ 越大，模型的拟合效果越好

查看试题解析
3. 函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，以下命题正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线的斜率大于0 B、 $f (- 1)$ 是函数的极值 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上不单调 D、 $f (- 1)$ 是函数的最小值

查看试题解析
4. 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是.

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
5. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（）

A、12个 B、10个 C、8个 D、7个

查看试题解析
6. $(1 + x) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为

A、-40 B、-10 C、40 D、30

查看试题解析
7. 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为 $\frac{1}{11}$ ，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为 $\frac{1}{4}$ ；若前一题答对，则此题答对的概率为 $\frac{1}{3}$ .记甲同学回答第 $n$ 题时答错的概率为 $P_{n}$ ，当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq M$ 恒成立，则 $M$ 的最小值为（）

A、 $\frac{97}{132}$ B、 $\frac{49}{132}$ C、 $\frac{47}{66}$ D、 $\frac{49}{66}$

查看试题解析
8. 若关于 $x$ 的不等式 $a (l n x + l n a) \leq 2 e^{2 x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \sqrt{e}]$ B、 $(0, e^{2}]$ C、 $(0, e]$ D、 $(0, 2 e]$

查看试题解析

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知随机变量 $X ∼ B (2, p)$ ，且 $E (X) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $p = \frac{1}{3}$ B、 $D (X) = \frac{8}{9}$ C、 $P (\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{5}{2}) = \frac{7}{9}$ D、 $E (2 X + 1) = \frac{7}{3}$

查看试题解析
10. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（）

A、常数项为160 B、含 $x^{2}$ 项的系数为60 C、第4项的二项式系数为15 D、各项系数的绝对值的和为3⁶

查看试题解析
11. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）

A、共有60种不同的坐法 B、空位不相邻的坐法有72种 C、空位相邻的坐法有24种 D、两端不是空位的坐法有27种

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X < 4) = 0.8$ ，则 $P (2 < X < 4) =$ .

查看试题解析
13. 函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 在 $(1 ， 2)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为

查看试题解析
14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 $P (B | A) =$ ．

查看试题解析

四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 为持续深化“一盔一带”安全守护行动，有效遏制和减少因电动车闯红灯､逆行､不佩戴安全头盔等行为带来的交通安全隐患，2022年5月以来，泰安交警景区大队根据辖区实际.稳步推进“一盔一带”安全守护行动，确保辖区道路交通环境畅通､有序，该行动开展一段时间后，针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，其中年龄低于40岁占60%，得到如图的等高堆积条形图.
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.005
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879

(1)、据等积条所给的数据，完成下面的列联表：
年龄
佩戴头盔
合计
是
否
年龄低于40岁
年龄不低于40岁
合计

(2)、根据（1）中的列联表，依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为佩戴安全头盗与年龄有关.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} (a \neq 0)$ ，且 $f^{'} (1) = 1$ ，求：

(1)、a的值；

(2)、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(3)、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值.

查看试题解析
17. 2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有 $m$ 道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为 $\frac{1}{15}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是 $\frac{3}{5}$ ．
（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量 $X$ 的分布列和数学期望；
（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．

查看试题解析
18. 为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量 $y$ （单位： $g / m^{3}$ ）与样本对原点的距离 $x$ （单位： $m$ ）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中 $u_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ， $\bar{u} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} u_{i}$ ）．附：对于一组数据 $(t_{1}, s_{1}), (t_{2}, s_{2}), \cdot \cdot \cdot, (t_{n}, s_{n})$ ，其线性相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (s_{i} - \bar{s})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(s_{i} - \bar{s})}^{2}}}$ ，
其回归直线 $s = α + β t$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (s_{i} - \bar{s})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{s} - \hat{β} \bar{t}$ ．
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{u}$
$\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{9} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{9} (u_{i} - \bar{u})$ $(y_{i} - \bar{y})$
6
97.90
0.21
60
0.14
1412
26.13
﹣1.40

(1)、利用样本相关系数的知识，判断 $y = a + b x$ 与 $y = c + \frac{d}{x}$ 哪一个更适宜作为平均金属含量 $y$ 关于样本对原点的距离 $x$ 的回归方程类型？

(2)、根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（ii）样本对原点的距离 $x = 20$ 时，金属含量的预报值是多少？
（iii）已知该金属在距离原点 $x m$ 时的平均开采成本 $W$ （单位：元）与 $x$ ， $y$ 关系为 $W = 1000 (y - l n x)$ $(1 \leq x \leq 100)$ ，根据（2）的结果回答， $x$ 为何值时，开采成本最大？

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{2 a}{x}, a \in R$ ．若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求a的取值范围；

(2)、证明： $x_{1} + x_{2} > 4 a$ ．

查看试题解析

年龄	佩戴头盔		合计
年龄	是	否	合计
年龄低于40岁
年龄不低于40岁
合计

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{u}$	$\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{9} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{9} (u_{i} - \bar{u})$ $(y_{i} - \bar{y})$
6	97.90	0.21	60	0.14	1412	26.13	﹣1.40

$α$	0.05	0.01	0.005
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879