广东省清远市五校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = l n (x - 2)}, B = {y ∣ y = x^{2} - 2 x, x \in A}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, + ∞)$ B、 $[- 1, + ∞)$ C、 $(2, + ∞)$ D、 $(- ∞, + ∞)$

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2. 曲线 $f (x) = x l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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3. 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = c {(\frac{1}{3})}^{k}, k = 1, 2, 3$ ，则 $c$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{13}{27}$ D、 $\frac{27}{13}$

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4. 市政府现有4个项目要安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，则不同的安排方式有（）

A、12种 B、14种 C、20种 D、24种

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5. 当 $a < 0$ 时，函数 $f (x) = (x^{2} + a x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + (y - 2)^{2} = a$ ，则“ $a > 2$ ”是“函数 $y = | x |$ 的图象与圆 $C$ 有四个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{11}{16}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2} x^{2} (a > 0)$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{4}, + ∞)$ B、 $(\frac{1}{4}, + ∞)$ C、 $(0, \frac{1}{4}]$ D、 $(0, \frac{1}{4})$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法中，正确的是（）

A、设有一个经验回归方程为 $\hat{y} = 1 - x$ ，变量 $x$ 增加1个单位时， $\hat{y}$ 平均增加1个单位 B、已知随机变量 $ξ \sim N (0, σ^{2})$ ，若 $p (ξ > 2) = 0.3$ ，则 $p (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.4$ C、两组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ .若已知 $x_{i} + y_{i} = 9$ 且 $x_{i} < y_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $\bar{x} + \bar{y} = 9$ D、已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, ⋯)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 3)$ 与 $(3, n)$ 的残差相等，则 $3 m + n = 9$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n x - c o s x, g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列结论中成立的（）

A、函数 $f (x)$ 的值域与 $g (x)$ 的值域相同 B、把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，就可以得到函数 $g (x)$ 的图象 C、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上都是增函数 D、若 $x_{0}$ 为是函数 $f (x)$ 的极值点，则 $x_{0}$ 是函数 $g (x)$ 的零点

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11. 拋物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设 $A, B$ 是抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上两个不同的点，以 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 为切点的切线交于 $P$ 点.若弦 $A B$ 过点 $F (0, 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x_{1} x_{2} = - 4$ B、若 $x_{1} = 2$ ，则 $A$ 点处的切线方程为 $x - y - 1 = 0$ C、存在点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} > 0$ D、 $△ P A B$ 面积的最小值为4

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知随机变量 $X \sim B (3, P)$ ，若 $E (X) + D (X) = \frac{9}{4}$ ，则 $P (X \geq 1) =$ .

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13. $(2 - \frac{x}{y}) (x + 2 y)^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{2}$ 的系数为.（用数字作答）

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14. 如果直线 $k x - y - 2 k = 0$ 和曲线 $Γ : x^{2} + 4 y | y | = 1$ 恰有一个交点，那么实数 $k$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 18$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{8}$ 的展开式中，

(1)、求二项式系数最大的项；

(2)、若第 $k$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合.

(3)、系数的绝对值最大的项是第几项；

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{3}$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, + ∞)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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18. 甲､乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约.2023年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，通过乙地的各项程序的概率依次为 $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ .
参考公式与临界值表： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.010
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
人数
性别
参加考核但未
能签约的人数
参加考核并能
签约的人数
男生
35
15
女生
40
10

(1)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？

(2)、若小明通过甲､乙两地的程序的项数分别记为 $X, Y$ ，分别求出 $X$ 与 $Y$ 的数学期望.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, g (x) = x - m l n x$

(1)、是否存在实数 $m$ ，使得 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上的单调区间相同？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的零点， $x_{2}, x_{3}$ 是 $g (x)$ 的零点.
（i）证明： $m > e$ .
（ii）证明： $1 < x_{1} x_{2} x_{3} < e^{3}$ .

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$α$	0.10	0.05	0.010
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635