重庆市名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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2. 为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的3000名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这3000名观众中男、女人数之比为 $1 : 2$ ，若样本容量为300，则不同的抽样结果共有（）

A、 $C_{3000}^{300} C_{300}^{100}$ B、 $C_{1000}^{100} C_{2000}^{200}$ C、 $A_{3000}^{300} A_{300}^{100}$ D、 $A_{1000}^{100} A_{2000}^{200}$

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3. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $x \cdot l n 3 - y - 1 = 0$ D、 $x \cdot l n 3 - y + 1 = 0$

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4. 现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. ${(x - 2 \sqrt{x} + 1)}^{3}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、20 B、15 C、6 D、3

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6. 若函数 $f (x) = k x - 6 l n x + x^{2}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 4)$

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7. 现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《论语》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（）

A、50 B、80 C、120 D、150

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8. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x) (x \in R)$ 的导数，且 $\forall x \in R, f^{'} (x) > 2, f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x) > 2 x - 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（）

A、若甲和乙相邻，共有48种排法 B、若甲不排第一个共有96种排法 C、若甲与丙不相邻，共有36种排法 D、若甲在乙的前面，共有60种排法

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10. 小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（）

A、 $P (A) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{3}{5}$ D、事件 $A, B$ 相互独立

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11. 定义：在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 是减函数，且 $y = x f (x)$ 是增函数，则称 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是“弱减函数” B、 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在 $(1 ， 2)$ 上是“弱减函数” C、若 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 在 $(m ， + \infty)$ 上是“弱减函数”，则 $m \geq e$ D、若 $f (x) = c o s x + k x^{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是“弱减函数”，则 $\frac{2}{3 π} \leq k \leq \frac{1}{π}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $6^{8}$ 除以7余数是．

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13. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件 $A =$ “第一次掷出的点数小于3”，事件 $B =$ “两次点数之和大于4”，则 $P (B | A) =$ ．

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14. 已知对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有： $\frac{a (l n x_{2} - l n x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 2 + \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + m x + n$ 在 $x = 1$ 时取得极值．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若对于任意 $x \in [2, 4], f (x) > n^{2} - 2$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围．

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17. 第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 $p$ 和 $\frac{4}{3} - p$ ，其中 $\frac{1}{3} < p < \frac{2}{3}$ ．

(1)、甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？

(2)、在 $p = \frac{1}{2}$ 的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列．

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18. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{2}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} (a \neq 0)$ 在定义域上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = \frac{2}{e} + 2$ ，求 $a$ 的值．

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19. 设函数 $f (x) = e^{x} + s i n x, g (x) = a x, F (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $F (x)$ 在点 $(0, F (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，设 $P (x_{1}, f (x_{1})), Q (x_{2}, g (x_{2})) (x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0)$ ，且 $P Q ∥ x$ 轴，求 $P 、 Q$ 两点间的最短距离；

(3)、若 $x \geq 0$ 时，函数 $y = F (x)$ 的图象恒在 $y = F (- x)$ 的图象上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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