河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列命题中正确的是（）

A、零向量没有方向 B、共线向量一定是相等向量 C、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 同向，且 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、单位向量的模都相等

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2. 已知复数z满足 $(3 - 4 i) z = 5$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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3. 下列说法中错误的是（）

A、棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B、用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C、直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D、在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线

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4. 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（）

A、平行 B、相交 C、直线在平面内 D、平行或直线在平面内

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5. 如图所示，在直角坐标系中，已知 $A (1, 0)$ ， $B (- 1, 2)$ ， $C (- 1, 0)$ ， $D (1, - 2)$ ，则四边形ABCD的直观图面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $(\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ， $b = 2 b c o s C + 2 c c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、正三角形 B、一个内角余弦值为 $\frac{1}{2}$ 的直角三角形 C、底角余弦值为 $\frac{1}{4}$ 的等腰三角形 D、底角正弦值为 $\frac{1}{4}$ 的等腰三角形

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， D在边AB上， $∠ A C B = 3 ∠ B C D$ ， $4 \vec{A D} = 5 \vec{D B}$ ，则 $c o s ∠ A C D =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{32}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数 $z = 3 - \sqrt{2} i$ ，则（）

A、z的虚部为 $\sqrt{2}$ B、z是纯虚数 C、z的模是 $\sqrt{11}$ D、z在复平面内对应的点位于第四象限

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10. 在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（）

A、 $\vec{A D} - \vec{A B} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{A F} = 2 \vec{E C} + \vec{F C}$ C、 $\vec{A F} + \vec{A E} = 2 (\vec{A B} + \vec{A D})$ D、 $\vec{A F} \cdot \vec{A E} = 1$

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11. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 9$ ， $a = 2 c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $27 π$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $9 + 9 \sqrt{3}$ C、 $△ A B C$ 是直角三角形 D、 $△ A B C$ 的内切圆的半径为 $(9 - 3 \sqrt{3}) π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $(2 - i) x = 4 + y i$ ，其中x，y是实数，则 $x + y =$ ．

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13. 如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75°，则该座小山的海拔为m；古塔AB的塔高为m．

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14. 在 $△ A B C$ 中，已知向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ，则角 $B =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数 $z = (2 - i) m^{2} - (1 + 3 i) m - 3 + i (m \in R)$ ．

(1)、当m为何值时，z为纯虚数?

(2)、当 $m = 2$ 时，求 $z \cdot \bar{z}$ ．

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16.
已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．

(1)、若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；

(2)、若该几何体的侧棱长均为 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ ，求该几何体的侧面积S．

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a s i n (\frac{π}{2} - C) = b$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为1，求a的最小值．

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18.
如图，在 $△ A B C$ 中，D，E是边BC上的两点， $A D ⊥ B C$ ， AE平分∠BAC， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、若 $s i n ∠ D A E = \frac{5}{13}$ ，求 $\frac{A E}{C E}$ 的值；

(2)、求证： $s i n ∠ A E D = \frac{\sqrt{3} (A B + A C)}{2 B C}$ ．

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19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：① $| \vec{A B} | = | \vec{A C} |$ ；②存在异于点A的点G使得： $\vec{A G}$ 与 $\vec{A B} + \vec{A C}$ 同向且 $\frac{\vec{A G} \cdot \vec{A B}}{| \vec{A B} |} = \frac{\sqrt{3}}{2} | \vec{A G} |$ ，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．

(1)、求∠BAC；

(2)、若 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, \sqrt{3})$ ， $C (x, y) (y > 0)$ ，求C的坐标；

(3)、记a，b，c中的最小值为 $m i n {a, b, c}$ ，若 $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，点P满足 $| \vec{P G} | = 1$ ，求 $m i n {\vec{P A} \cdot \vec{P B}, \vec{P B} \cdot \vec{P C}, \vec{P C} \cdot \vec{P A}}$ 的取值范围．

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