湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：月考试卷

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一、､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}, B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 2}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} + x$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = l o g_{2} | x |$

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3. 已知 $a, b \in R$ ．则“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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5. 若 $c o s (\frac{π}{2} - α) = - \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (π - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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6. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} = 6$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对 $3$ 个成语的概率为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ （ $z \geq 0,$ ， $a, b, c > 0$ ，且a ， b ， c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为 $m^{2} π (m > 0)$ 的圆，给出下列结论：① $a = b$ ；② $c = m$ ；③ $a c = m^{2}$ ；④若 $a c > m$ ，则 $c > 1$ ，其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 设 $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，下列命题正确的是（）

A、如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ . B、如果 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$ . C、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ . D、如果 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行，那么 $α / / β$ .

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10. 下列说法正确的是（）

A、两个变量 $x$ ， $y$ 的相关系数为 $r$ ，则 $| r |$ 越小， $x$ 与 $y$ 之间的相关性越弱 B、在回归分析中， $R^{2}$ 为0.99的模型比 $R^{2}$ 为0.88的模型拟合的更好 C、在 ${(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中，所有项的系数和为0 D、某时间段的第1天为星期三，则第 $3^{99}$ 天为星期四

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11. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为 $X$ ，则（）

A、 $X ~ B (4 ， \frac{2}{3})$ B、 $P (X = 2) = \frac{8}{81}$ C、X的期望 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、X的方差 $D (X) = \frac{8}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $(x - \frac{1}{\sqrt{x}})^{6}$ 展开式中的常数项为．

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13. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加 $A, B, C, D$ 这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加 $A$ 项目，则不同的报名方法种数有.

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14. 已知随机变量 $X \sim N (12, σ^{2})$ ，若 $P (X < 9) = 0.36$ ，则 $P (12 < X \leq 15) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14

(1)、观察散点图可知，天数 $x$ 与作物高度 $y$ 之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度 $y$ 关于天数 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （其中 $\hat{a}, \hat{b}$ 用分数表示）；

(2)、小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为 $21.3 c m$ ，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 710$ .

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16. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：

不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100

(1)、判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；

(2)、若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及 $E (X)$ .
附：① $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ；
②当 $χ^{2} > 3.841$ 时有95%的把握认为两变量有关联.

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $5 x - y + n = 0$ ．

(1)、求实数a ， n的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 4]$ 上的最值．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 为正方形， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} C / /$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若 $A_{1} C ⊥ A B$ ，求二面角 $D - A B_{1} - A_{1}$ 的余弦值．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被圆 $O$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x - 2$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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	不太了解	比较了解	合计
男生	20	40	60
女生	20	20	40
合计	40	60	100

天数x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
作物高度y/cm	9	10	10	11	12	13	13	14	14	14