四川省南充市西充县部分校2024届高三5月高考模拟联考理科数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z$ 满足 $i z + 4 \bar{z} - 15 = 0$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知椭圆 $\frac{y^{2}}{m^{2} + 2} + \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\pm \sqrt{2}$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 4$

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3. 若集合 $A = {x | \sqrt{x} \leq a}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, \sqrt{3}]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(- \infty, \sqrt{3}]$

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4. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $l$ 是两条不同的直线，且 $α ∩ β = l$ ，则“ $m ∥ l$ ”是“ $m ∥ β$ 且 $m ∥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x + 3 y - 1 \geq 0, \\ 2 x - y - 1 \leq 0, \\ y - 2 \leq 0, \end{cases}$ 则目标函数 $z = y - 4 x$ 的最小值为（）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、 $- 4$ D、2

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6. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{3} = 2$ ， $a_{14} = 8$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、140 B、70 C、160 D、80

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7. 三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（）

A、8种 B、12种 C、16种 D、24种

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8. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为7，则 $p$ 的取值范围是（）

A、 $(4, 9]$ B、 $[4, 9)$ C、 $(4, 9)$ D、 $[4, 9]$

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9. 已知函数 $f (x) = 2^{| s i n x | c o s x}$ ，现有下列四个结论：
① $f (x)$ 是偶函数；
② $f (x)$ 是周期为 $π$ 的周期函数；
③ $f (x)$ 在 $[π, \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减；
④ $f (x)$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
其中所有正确结论的编号是（）

A、①③ B、③④ C、①②④ D、①③④

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10. 设 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0, a \neq b)$ 的两条渐近线，若直线 $l_{1}$ 与直线 $y = x$ 关于直线 $l_{2}$ 对称，则双曲线 $C$ 的离心率的平方为（）

A、 $5 \pm 2 \sqrt{3}$ B、 $5 \pm 2 \sqrt{2}$ C、 $8 \pm 4 \sqrt{3}$ D、 $8 \pm 4 \sqrt{2}$

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11. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 3) = - f (- x)$ ，且 $f (2) = 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上的零点个数的最小值为（）

A、7 B、9 C、10 D、12

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12. 在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 1$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上（不包含端点），沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，使二面角 $A - D E - C$ 的大小为 $θ$ ， $θ \in (0, π)$ ，则四棱锥 $A - B C D E$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 若 $l o g_{2} 3^{x} = 1$ ，则 $9^{- x} =$ .

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14. 已知0是函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ 的极大值点，则 $a$ 的取值范围为.

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15. 已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心， $O A = 2$ ， $O B = 3$ ， $O C = 3$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O A} \cdot \vec{O C} + \vec{O B} \cdot \vec{O C} =$ .

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16. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为.

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a - \sqrt{2} b) c o s C = c (\sqrt{2} c o s B - c o s A)$ .

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $B = 2 C$ ，证明： $△ A B C$ 为直角三角形.

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18. 现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
乙
71
81
73
73
71
73
85
73
已知甲12次投篮次数的平均数 $\bar{x_{1}} = 80$ ，乙8次投篮次数的平均数 $\bar{x_{2}} = 75$ .

(1)、求这20次投篮次数的平均数 $\bar{x}$ 与方差 $s^{2}$ .

(2)、甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $\frac{4}{5}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{3}{4}$ .已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了三次， $X$ 表示投篮的次数，求 $X$ 的分布列与期望.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A C_{1} ⊥ B_{1} C$ .

(1)、证明： $B C = B B_{1}$ .

(2)、已知平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $B - C C_{1} A$ 的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 l n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ， $f (x) \leq e^{a x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知 $O$ 为坐标原点，经过点 $(4, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ （ $A$ ， $B$ 异于点 $O$ ）两点，且以 $A B$ 为直径的圆过点 $O$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M$ ， $N$ ， $P$ 是 $C$ 上的三点，若 $△ M N P$ 为正三角形， $Q$ 为 $△ M N P$ 的中心，求直线 $O Q$ 斜率的最大值.

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四、（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
已知直线 $l$ ： ${\begin{cases} x = t + 1, \\ y = \frac{t}{2} - 1 \end{cases}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、将直线 $l$ 向下平移 $a (a > 0)$ 个单位长度得到直线 $l_{1}$ ， $P$ 是曲线 $C$ 上的一个动点，若点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $a$ 的值.

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | x + a |$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，解不等式 $f (x) \leq x + 8$ ；

(2)、当 $x \in [- 4, - 2]$ 时， $f (x) \leq 7 + x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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甲	77	73	77	81	85	81	77	85	93	73	77	81
乙	71	81	73	73	71	73	85	73