广西河池市2024年普通高中毕业班适应性模拟测试数试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $A = {3, 4, 6}$ ， $B = {x \in Z | | x | \leq 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1, 5}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 3}$ D、 $\emptyset$

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2. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（）

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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3. 双曲线 $x^{2} - a y^{2} = 1$ （ $a > 0$ ）的一条渐近线方程为 $x - \sqrt{3} y = 0$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\sqrt{2}$

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4. 设 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $s i n α$ ， $c o s α$ ， $s i n (\frac{π}{2} - α)$ ， $c o s (\frac{π}{2} + α)$ 的极差是（）

A、 $2 s i n α$ B、 $2 c o s α$ C、 $\sqrt{2} s i n (α - \frac{π}{4})$ D、 $- \sqrt{2} s i n (α - \frac{π}{4})$

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5. 记单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ 且 $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{3}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、70 B、65 C、55 D、50

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6. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 $λ$ （ $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点 $O (0, 0)$ ， $A (\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $\frac{| P O |}{| P A |} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，若点 $P$ 的轨迹与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 x + 2 y = r^{2} - 10$ （ $r > 0$ ）有且仅有三条公切线，则 $r =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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7. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则“ $b = - 1$ ”是“函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{b} + \frac{b}{a^{x}}$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $P$ 为平面上一点， $O$ 为 $△ A B P$ 的重心，则 $△ A B P$ 的面积的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $[6, + \infty)$ D、 $[12, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为方程 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 的两个根，则下列选项中正确的有（）

A、 $| z_{1} | = | z_{2} |$ B、 $z_{1} \bar{z_{1}} = {| z_{1} |}^{2}$ C、复数 $z_{1}$ 在复平面上对应的点在第二象限 D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \cdot \bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = 1$

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10. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B C_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $B C_{1}$ ， $A C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $D E / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ B、 $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1}$ C、直线 $A D$ 与直线 $D E$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、若 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ，则平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = x - s i n x + c o s x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 的极大值点为 $x = 2 k π$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 有唯一的零点 D、 $f (x)$ 的图象与直线 $y = x + \sqrt{2}$ 相切的点的横坐标为 $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ， $k \in Z$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为.

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13. 若实数 $a > 1 > b > 0$ ，且 $a^{2} + 2 b = b^{2} + 2 a$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，对 $\forall n \geq 2$ 有 $a_{n + 1} a_{n - 1} = k a_{n}$ ， $k$ 为正整数，使 $a_{1024} = 1024$ 成立的 $k$ 的值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值，并求出此时角 $B$ ，角 $C$ 的大小.

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16. 某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：

(1)、完成下面的列联表，并依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？

玩过网游
没玩过网游
总计
男生
女生
总计

(2)、视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为 $X$ ，求 $P (X = 2)$ 和 $E (X)$ .
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
001
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17. 如图， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C$ ∥ $D E$ ， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = A D = 2 D E = 2$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的中点，连接 $P E$ .

(1)、证明： $P E$ ∥平面 $B C D$ ；

(2)、求 $P E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = a l n x + x^{2} - a x$ ，定义域为 $(0, + ∞)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求当函数 $f (x)$ 有且只有一个零点时， $a$ 的取值范围.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $A$ 为左顶点，点 $B$ 为上顶点， $| A B | = \sqrt{5}$ ，不经过点 $A$ ， $B$ 的直线 $l$ 过原点且与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $B M$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $B N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、求 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 四个点组成的四边形的面积的最大值，并求出此时直线 $l$ 的方程.

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	玩过网游	没玩过网游	总计
男生
女生
总计

$α$	0.1	0.05	001	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828