广西南宁市2024年普通高中毕业班第二次适应性测试数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(a, b)$ ，且 $| z + i | = 4$ ，则（）

A、 $a^{2} + {(b + 1)}^{2} = 4$ B、 $a^{2} + {(b + 1)}^{2} = 16$ C、 ${(a + 1)}^{2} + b^{2} = 4$ D、 ${(a + 1)}^{2} + b^{2} = 16$

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2. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $M : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为 $M$ 上一点，若 $| P F_{1} | = 3$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、6

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3. 某体育场A区域看台的座位共有10排，从第1排到第10排的座位数构成等差数列，已知第1排、第4排的座位数分别为10，16，则A区域看台的座位总数为（）

A、205 B、200 C、195 D、190

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4. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，且 $l \subset α; m \subset β$ ，下列命题为真命题的是（）

A、若 $l$ $∥$ $m$ ，则 $α$ $∥$ $β$ B、若 $α$ $∥$ $β$ ，则 $l$ $∥$ $β$ C、若 $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $l$ $∥$ $m$

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5. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）

A、12 B、18 C、20 D、60

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6. 如果方程 $F (x, y) = 0$ 能确定 $y$ 是 $x$ 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程 $F (x, y) = 0$ 中，把 $y$ 看成 $x$ 的函数 $y = y (x)$ ，则方程可看成关于 $x$ 的恒等式 $F (x, y (x)) = 0$ ，在等式两边同时对 $x$ 求导，然后解出 $y^{'} (x)$ 即可.例如，求由方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ 所确定的隐函数的导数 $y^{'}$ ，将方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两边同时对 $x$ 求导，则 $2 x + 2 y \cdot y^{'} = 0$ （ $y = y (x)$ 是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得 $y^{'} = - \frac{x}{y}$ （ $y \neq 0$ ）.那么曲线 $x y + l n y = 2$ 在点 $(2, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - 3 y + 1 = 0$ B、 $x + 3 y - 5 = 0$ C、 $3 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x + 3 y - 7 = 0$

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7. 在研究变量 $x$ 与 $y$ 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ⋯$ ， $(x_{5}, y_{5}), (6, 28), (0, 28)$ ，利用此样本数据求得的经验回归方程为 $\hat{y} = \frac{10}{7} x + \frac{166}{7}$ ，现发现数据 $(6, 28)$ 和 $(0, 28)$ 误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + m$ ，且 $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 140$ 则 $m =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、20

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8. 如图，正四棱台容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为 $12 c m$ ， $A B = 10 c m$ ， $A_{1} B_{1} = 2 c m$ ，容器中水的高度为 $6 c m$ .现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了 $3 c m$ ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）

A、 $\sqrt[3]{\frac{1}{π}} c m$ B、 $\sqrt[3]{\frac{2}{π}} c m$ C、 $\sqrt[3]{\frac{3}{π}} c m$ D、 $\sqrt[3]{\frac{4}{π}} c m$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M ， N可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}, N = {4}$ B、 $M = {x | x^{2} < 1}, N = {x | x > - 1}$ C、 $M = {x | y = l o g x}, N = {y | y = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}}$ D、 $M = {(x, y) | x^{2} = y^{2}}, N = {(x, y) | y = x}}$

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10. 已知函数 $f (x) = M s i n (ω x + φ) (M > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图像如图所示， $A, B$ 为 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴的交点， $C$ 为 $f (x)$ 图像上的最高点， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形， $| O B | = 2 | O A |$ .则（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、直线 $x = \frac{13}{6}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(\frac{1}{6} + 2 k, \frac{7}{6} + 2 k) (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \frac{5}{6} + 2 k π, \frac{1}{6} + 2 k π) (k \in Z)$

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11. 设拋物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (0, 3)$ 的直线与抛物线 $E$ 相交于点 $A, B$ ，与 $x$ 轴相交于点 $C, | A F | = 2, | B F | = 10$ ，则（）

A、 $E$ 的准线方程为 $y = - 2$ B、 $p$ 的值为2 C、 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ D、 $△ B F C$ 的面积与 $△ A F C$ 的面积之比为9

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上．

12. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 1, a_{6} = 3$ ，则 $a_{8} =$ ．

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13. 若过点 $P (0, 1)$ 可作圆 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5 - a$ 的两条切线，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 定义域为R的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称，函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称．若 $f (0) = 0$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (50) =$ ．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

15. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{2 t a n A}{1 + t a n^{2} A} = \frac{a s i n B}{b}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b + c = \sqrt{3} a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = \sqrt{2} P A = \sqrt{2} P B = 2, E$ 是 $C D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A E$ .

(2)、求二面角 $D - A P - E$ 的余弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求 $a$ 的取值范围，

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x + 1$ 恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围，

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18. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点 $D (6, \sqrt{3})$ 到左､右焦点的距离之差为6，

(1)、求双曲线 $C$ 的方程，

(2)、已知 $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ，过点 $(5, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ （异于 $A, B$ ）两点，直线 $M A$ 与 $N B$ 交于点 $P$ ，试问点 $P$ 到直线 $x = - 2$ 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，

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19. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练

(1)、求抽到甲参与传球训练的概率；

(2)、记主攻手和自由人被抽到的总人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及期望；

(3)、若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ ，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ ，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．

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